2022-2023學年湖北省武漢市江岸區高二（上）期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₈+a₁₄=3a₁₁-4，則S₂₁=（　　）

  A．72

  B．84

  C．144

  D．168
  組卷：107引用：3難度：0.8

  解析

• 2．已知圓C：x²+y²+2kx+2y+k²=0（k＜0）和定點P（1，-1），若過點P可以作兩條直線與圓C相切，則k的取值范圍是（　　）

  A．（-∞，-1）	B．（-∞，-1）∪（2，+∞）
  C．（-∞，-2）∪（0，+∞）	D．（-∞，-2）
  組卷：154引用：4難度：0.7

  解析

• 3．如果直線y=ax+2與直線y=3x-b關于直線y=x對稱，那么（　　）

  A．a= 1 3 ，b=6

  B．a= 1 3 ，b=-6

  C．a=3，b=-2

  D．a=3，b=6
  組卷：262引用：10難度：0.9

  解析

• 4．已知拋物線x²=16y的焦點為F，點P在拋物線上，點Q在圓E：（x-2）²+（y-6）²=4上，則|PQ|+|PF|的最小值為（　　）

  A．12

  B．10

  C．8

  D．6
  組卷：101引用：2難度：0.5

  解析

• 5．設F是雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的右焦點，O為坐標原點，過F作C的一條漸近線的垂線，垂足為H，若△FOH的內切圓與x軸切于點B，且

  BF

  =

  3

  OB

  ，則C的離心率為（　　）

  A． 2 + 2 7 3

  B． 3 + 7 3

  C． 4 + 7 3

  D． 5 + 7 3
  組卷：282引用：4難度：0.6

  解析

• 6．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，na_n+1=2S_n，

  b

  n

  =

  （

  -

  1

  ）

  n

  a

  n

  ，數列{b_n}的前n項和為T_n，則T₁₀₀=（　　）

  A．0

  B．50

  C．100

  D．2525
  組卷：173引用：3難度：0.6

  解析

• 7．法國數學家、化學家和物理學家加斯帕爾?蒙日被稱為“畫法幾何之父”，他創立的畫法幾何學推動了空間解析幾何的發展，被廣泛應用于工程制圖當中．過橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  外的一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線互相垂直，則該點的軌跡是以橢圓的中心為圓心、以

  a

  2

  +

  b

  2

  為半徑的圓，這個圓叫做橢圓的蒙日圓．若橢圓

  C

  ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  m

  =

  1

  （

  0

  ＜

  m

  ＜

  4

  ）

  的蒙日圓為E：x²+y²=7，過圓E上的動點M作橢圓C的兩條切線，分別與圓E交于P，Q兩點，直線PQ與橢圓C交于A，B兩點，則下列結論不正確的是（　　）

  A．橢圓C的離心率為 1 2

  B．M到C的右焦點的距離的最大值為 7 + 1

  C．若動點N在C上，記直線AN，BN的斜率分別為k1，k2，則 k 1 k 2 = - 3 4

  D．△MPQ面積的最大值為 7 2
  組卷：338引用：7難度：0.5

  解析

四、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a₁=1，當n≥2（n∈N^*）時，

  （

  n

  -

  1

  ）

  S

  n

  -

  （

  n

  +

  1

  ）

  S

  n

  -

  1

  =

  1

  3

  （

  n

  3

  -

  n

  ）

  ．
  （1）計算：a₂，a₃；
  （2）證明

  {

  S

  n

  n

  （

  n

  +

  1

  ）

  }

  為等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
  （3）設

  b

  n

  =

  tan

  a

  n

  ，求數列{b_n+1b_n}的前n項和T_n．
  組卷：103引用：4難度：0.6

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• 22．設橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左右焦點F₁，F₂分別是雙曲線

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  =1的左右頂點，且橢圓的右頂點到雙曲線的漸近線的距離為

  2

  10

  5

  ．
  （1）求橢圓E的方程；
  （2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A、B，且

  OA

  ⊥

  OB

  ？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB|的取值范圍，若不存在，說明理由．
  組卷：142引用：4難度：0.4

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