2023-2024學年上海市黃浦區格致中學高三（上）月考數學試卷（10月份）

一、填空題（第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分）

• 1．已知集合A=N^*，B={x||2x-1|＜5}，則A∩B=

  （用列舉法表示）．
  組卷：225引用：2難度：0.9

  解析

• 2．已知復數z滿足z（1-i）=4（i為虛數單位），則|z|=

  ．
  組卷：166引用：6難度：0.7

  解析

• 3．已知

  tan

  （

  α

  +

  π

  4

  ）

  =

  -

  3

  ，則tanα=

  ．
  組卷：35引用：1難度：0.5

  解析

• 4．已知冪函數f（x）=x^a的圖象過點（

  2

  ，2

  2

  ），且f（m-2）＞1，則實數m的取值范圍是

  ．
  組卷：261引用：3難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，若AB=2，∠B=

  5

  π

  12

  ，∠C=

  π

  4

  ，則BC=

  ．
  組卷：674引用：5難度：0.8

  解析

• 6．若圓錐的側面積為20π，且母線與底面所成的角為

  arccos

  4

  5

  ，則該圓錐的體積為

  ．
  組卷：242引用：7難度：0.9

  解析

• 7．在（x+

  2

  ）⁷的二項展開式中任取一項，則該項系數為有理數的概率為

  ．（用數字作答）
  組卷：188引用：2難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

• 20．已知橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F₂，且F₁，F₂與短軸的一個端點Q構成一個等腰直角三角形，點P（

  2

  2

  ，

  3

  2

  ）在橢圓E上，過點F₂作互相垂直且與x軸不重合的兩直線AB，CD分別交橢圓E于A，B，C，D且M，N分別是弦AB，CD的中點．
  （1）求橢圓的方程；
  （2）求證：直線MN過定點R（

  2

  3

  ，0）；
  （3）求△MNF₂面積的最大值．
  組卷：1424引用：9難度：0.1

  解析

• 21．.已知函數f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），g（x）=sinx-ax（a∈R）．
  （1）求f（x）的最大值；
  （2）若對?x₁∈（0，+∞），總存在

  x

  2

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，求實數a的取值范圍；
  （3）證明不等式

  sin

  （

  1

  n

  ）

  n

  +

  sin

  （

  2

  n

  ）

  n

  +

  …

  +

  sin

  （

  n

  n

  ）

  n

  ＜

  e

  e

  -

  1

  （其中e是自然對數的底數）．
  組卷：328引用：3難度：0.2

  解析