2022-2023學(xué)年湖北省十堰市天河英才高中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題。（40分）

• 1．若傾斜角為

  π

  3

  的直線過(guò)A（2，a），B（1，

  3

  ）兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a=（　　）

  A．3 3

  B．2 3

  C． 3

  D． 3 2
  組卷：164引用：5難度：0.8

  解析

• 2．已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若

  OM

  =

  2

  5

  OA

  +

  1

  6

  OB

  +

  λ

  OC

  ，則A，B，C，M四點(diǎn)共面的充要條件是（　　）

  A． λ = 17 30

  B． λ = 13 30

  C． λ = - 17 30

  D． λ = - 13 30
  組卷：91引用：9難度：0.8

  解析

• 3．已知向量

  AB

  =（2，3，0），

  AC

  =（1，0，1），則平面ABC的一個(gè)法向量為（　　）

  A．（3，2，-3）

  B．（3，2，3）

  C．（3，-2，3）

  D．（3，-2，-3）
  組卷：203引用：4難度：0.8

  解析

• 4．在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若

  AB

  =

  a

  ，

  AD

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，點(diǎn)P為A₁C₁與B₁D₁的交點(diǎn)，則

  DP

  =（　　）

  A． 1 2 a + 1 2 b + c

  B． a + 1 2 b - 1 2 c

  C． 1 2 a - 1 2 b + c

  D． 1 2 a + 1 2 b - c
  組卷：338引用：9難度：0.9

  解析

• 5．A地的天氣預(yù)報(bào)顯示，A地在今后的三天中，每一天有強(qiáng)濃霧的概率為30%，現(xiàn)用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率，先利用計(jì)算器產(chǎn)生0-9之間整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，并用0，1，2，3，4，5，6表示沒(méi)有強(qiáng)濃霧，用7，8，9表示有強(qiáng)濃霧，再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，代表三天的天氣情況，產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)：
  402　　978　　191　　925　　273　　842　　812　　479　　569　　683
  231　　357　　394　　027　　506　　588　　730　　113　　537　　779
  則這三天中至少有兩天有強(qiáng)濃霧的概率近似為（　　）

  A． 1 4

  B． 2 5

  C． 7 10

  D． 1 5
  組卷：392引用：9難度：0.9

  解析

• 6．已知平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的各棱長(zhǎng)均為1，∠A₁AB=∠A₁AD=45°，∠DAB=90°，則|BD₁|=（　　）

  A． 3

  B． 2 - 1

  C． 2

  D． 2 + 1
  組卷：67引用：7難度：0.5

  解析

• 7．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱AB上的點(diǎn)，且AE=3EB，G，F(xiàn)分別是棱DD₁，BC的中點(diǎn)，則異面直線GB₁與EF所成角的余弦值為（　　）

  A． 2 2

  B． 5 3

  C． 3 2

  D． 2 5 15
  組卷：141引用：8難度：0.7

  解析

四、解答題。

• 21．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=

  π

  2

  ，D，E分別為線段AB，BC上的點(diǎn)，且CD=DE=

  2

  ，CE=2EB=2．
  （1）證明：ED⊥平面PCD；
  （2）求二面角A-PD-C的余弦值．
  組卷：35引用：2難度：0.5

  解析

• 22．在如圖所示的多面體中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE=2，M是AB的中點(diǎn)．
  （1）求證：CM⊥EM；
  （2）求平面EMC與平面BCD所夾角的余弦值；
  （3）在棱DC上是否存在一點(diǎn)N，使得直線MN與平面EMC所成的角是60°，若存在，求|CN|的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
  組卷：160引用：4難度：0.5

  解析