2004年全國初中數學競賽（天津賽區）初賽試卷

一、選擇題（共6小題，每小題5分，滿分30分）

• 1．已知：m²+n²+mn+m-n+1=0，則

  1

  m

  +

  1

  n

  的值等于（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：656引用：5難度：0.9

  解析

• 2．已知a,b,c為非零實數，且a+b+c≠0，若

  a

  +

  b

  -

  c

  c

  =

  a

  -

  b

  +

  c

  b

  =

  -

  a

  +

  b

  +

  c

  a

  ，則

  （

  a

  +

  b

  ）

  （

  b

  +

  c

  ）

  （

  c

  +

  a

  ）

  abc

  等于（　　）

  A．8

  B．4

  C．2

  D．1
  組卷：879引用：3難度：0.9

  解析

• 3．方程

  x

  +

  3

  x

  +

  1

  -

  y

  =

  0

  的整數解有（　　）

  A．1組

  B．2組

  C．3組

  D．4組
  組卷：420引用：2難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在△ABC中，M是AC的中點，P，Q為邊BC的三等分點．若BM與AP，AQ分別交于D，E兩點，則BD，DE，EM三條線段的長度比等于（　　）

  A．3：2：1

  B．4：2：1

  C．5：3：2

  D．5：2：1
  組卷：242引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題（共3小題，滿分60分）

• 13．在正2004邊形A₁A₂…A₂₀₀₄各頂點上隨意填上1，2，…501中的一個數．試證明：一定存在四個頂點滿足如下條件：
  （1）這四個頂點構成的四邊形為矩形；
  （2）此四邊形相對兩頂點所填數之和相等．
  組卷：232引用：1難度：0.1

  解析

• 14．已知直線l與⊙O交于不同的兩點E，F，CD是⊙O的直徑，CA⊥l,DB⊥l,垂足分別為A，B．若AB=7，BD-AC=1，AE=1，試問在線段AB上是否存在點P，使得以點P，A，C為頂點的三角形與以點P，B，D為頂點的三角形相似？若存在，求出AP的長；若不存在，請說明理由．
  組卷：195引用：1難度：0.1

  解析