2023-2024學年天津一中高二（上）期中數學試卷

一.選擇題：（每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．設直線l的斜率為k,且-1≤k＜

  3

  ，求直線l的傾斜角α的取值范圍（　?。?/h2>

  A． [ 0 ， π 3 ） ∪ （ 3 π 4 ， π ）	B． [ 0 ， π 6 ） ∪ （ 3 π 4 ， π ）
  C． （ π 6 ， 3 π 4 ）	D． [ 0 ， π 3 ） ∪ [ 3 π 4 ， π ）
  組卷：483引用：21難度：0.8

  解析

• 2．設點A（4，-3），B（-2，-2），直線l過點P（1，1）且與線段AB相交，則l的斜率k的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．k≥1或k≤-4

  B．k≥1或 k ≤ - 4 3

  C．-4≤k≤1

  D． - 4 3 ≤ k ≤ - 1
  組卷：407引用：12難度：0.6

  解析

• 3．“a²=1”是“直線x+y=0和直線x-ay=0互相垂直”的（　?。?/h2>

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：70引用：9難度：0.9

  解析

• 4．已知圓C：x²+y²-2x-3=0，若直線l：ax-y+1-a=0與圓C相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為（　?。?/h2>

  A．2 2

  B．2 3

  C．3

  D． 5 2
  組卷：182引用：4難度：0.7

  解析

• 5．某廣場的一個橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，F₁，F₂分別為該橢圓的兩個焦點，PQ為該橢圓過點F₂的一條弦，且△PQF₁的周長為3|F₁F₂|．若該橢球橫截面的最大直徑為2米，則該橢球的高為（　?。?/h2>

  A． 2 10 3 米

  B． 6 5 5 米

  C． 8 3 米

  D． 12 5 米
  組卷：170引用：5難度：0.6

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• 6．已知雙曲線C的焦點與橢圓E：

  y

  2

  16

  +

  x

  2

  7

  =

  1

  的上、下頂點相同，且經過E的焦點，則C的方程為（　　）

  A． x 2 9 - y 2 7 = 1

  B． y 2 9 - x 2 16 = 1

  C． y 2 9 - x 2 7 = 1

  D． x 2 9 - y 2 16 = 1
  組卷：207引用：5難度：0.5

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三.解答題：（本大題共4小題共46分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。）

• 19．給定橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，稱圓心在原點O、半徑是

  a

  2

  +

  b

  2

  的圓為橢圓C的“準圓”．已知橢圓C的一個焦點為

  F

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，其短軸的一個端點到點F的距離為

  3

  ．
  （1）求橢圓C和其“準圓”的方程；
  （2）若點A是橢圓C的“準圓”與x軸正半軸的交點，B、D是橢圓C上的兩相異點，且BD⊥x軸，求

  AB

  ?

  AD

  的取值范圍．
  組卷：83引用：5難度：0.5

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• 20．在平面直角坐標系xOy中，設F為橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左焦點，直線x=-

  a

  2

  c

  與x軸交于點P，M為橢圓C的左頂點，已知橢圓長軸長為8，且

  PM

  =2

  MF

  ．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）若過點P的直線與橢圓交于兩點A，B，設直線AF，BF的斜率分別為k₁，k₂．
  ①求證：k₁+k₂為定值；
  ②求△ABF面積的最大值．
  組卷：785引用：8難度：0.1

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