2023-2024學年江西省九江一中高二（上）期中數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

• 1．若z（1-3i）=2-i,則

  z

  =（　　）

  A． 1 2 + 1 2 i

  B． 1 2 - 1 2 i

  C．1+i

  D．1-i
  組卷：86引用：9難度：0.8

  解析

• 2．若平面α的一個法向量為

  u

  1

  =

  （

  -

  3

  ，

  y

  ,

  2

  ）

  ，平面β的一個法向量為

  u

  2

  =

  （

  6

  ，-

  2

  ，

  z

  ）

  ，且α∥β，則y+z的值是（　　）

  A．-3

  B．-4

  C．3

  D．4
  組卷：80引用：9難度：0.8

  解析

• 3．已知雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為2，則漸近線方程是（　　）

  A． y =± 1 2 x

  B．y=±2x

  C． y =± 3 x

  D． y =± 3 3 x
  組卷：205引用：4難度：0.7

  解析

• 4．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P，Q分別為DD₁，AD，C₁D₁，C₁C的中點，則異面直線MN與PQ所成的角大小等于（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：213引用：5難度：0.4

  解析

• 5．圓x²-4x+y²-2y=0的圓心在拋物線x²=2py上，則該拋物線的焦點坐標為（　　）

  A．（2，0）

  B．（0，1）

  C．（0，2）

  D．（1，0）
  組卷：76引用：2難度：0.7

  解析

• 6．設α，β，γ是互不重合的平面，m,n是互不重合的直線，給出四個命題：
  ①若m∥α，n⊥α，則m⊥n
  ②若m∥n,n∥α，則m∥α
  ③若m∥α，n∥α，則m∥n
  ④若m⊥r,n⊥y,則m∥n
  其中正確命題的個數是（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：33引用：5難度：0.7

  解析

• 7．橢圓E：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的左、右焦點分別為F₁，F₂，若F₂與拋物線y²=8x的焦點重合，橢圓E與過點P（9，3）的冪函數y=x^α的圖像交于點Q，且冪函數在點Q處的切線過點F₁，則橢圓的離心率為（　　）

  A． 1 2

  B． 2 2

  C． 3 2

  D． 3 - 1
  組卷：26引用：2難度：0.5

  解析

五、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知△ABC是等邊三角形，點M，N滿足

  AB

  =

  3

  AM

  ，

  CA

  =

  3

  CN

  ，將△AMN沿MN折起到△A'MN的位置，使∠A'MB=90°．
  （1）求證：A'M⊥平面MBCN；
  （2）在線段BC上是否存在點D，使平面A'ND與平面A'MB夾角的余弦值為

  39

  13

  ？若存在，求

  |

  BD

  |

  |

  DC

  |

  的值；若不存在，說明理由．
  組卷：40引用：1難度：0.4

  解析

• 22．已知T為圓M：

  （

  x

  +

  2

  ）

  2

  +

  y

  2

  =

  16

  上任一點，

  N

  （

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  MQ

  =

  λ

  MT

  ，λ∈[0，1]，且滿足

  （

  QT

  +

  QN

  ）

  ?

  TN

  =

  0

  ．
  （1）求動點Q的軌跡Γ的方程；
  （2）過點P（0，1）的直線與軌跡Γ相交于A，B兩點，是否存在與點P不同的定點R，使

  |

  RA

  |

  |

  RB

  |

  =

  |

  PA

  |

  |

  PB

  |

  恒成立？若存在，求出點R的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：36引用：2難度：0.4

  解析