2023-2024學年北京市海淀區育英學校高三（上）月考數學試卷（一）

一、選擇題。（每小題4分，共40分）

• 1．已知集合A={0，a}，B={x|-1＜x＜2}，且A?B，則a可以是（　　）

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．2
  組卷：472引用：8難度：0.9

  解析

• 2．（

  1

  x

  -x）¹⁰的展開式中x⁴的系數是（　　）

  A．-210

  B．-120

  C．120

  D．210
  組卷：587引用：11難度：0.8

  解析

• 3．已知雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1的一條漸近線的傾斜角為60°，且與橢圓

  x

  2

  5

  +y²=1有相等的焦距，則C的方程為（　　）

  A． x 2 3 -y2=1

  B． x 2 9 - y 2 3 =1

  C．x2- y 2 3 =1

  D． x 2 3 - y 2 9 =1
  組卷：306引用：3難度：0.9

  解析

• 4．已知a＜b＜0，則下列不等式中正確的是（　　）

  A． 1 a ＜ 1 b

  B．b2＜a2

  C． b a ＞ 1

  D． - a ＜ - b
  組卷：20引用：3難度：0.7

  解析

• 5．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  sin

  πx

  2

  x

  2

  +

  1

  -

  1

  2

  x

  的零點個數為（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．4
  組卷：119引用：3難度：0.5

  解析

• 6．以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A、B兩點，交C的準線于D、E兩點．已知|AB|=4

  2

  ，|DE|=2

  5

  ，則C的焦點到準線的距離為（　　）

  A．2

  B．4

  C．6

  D．8
  組卷：8025引用：25難度：0.7

  解析

• 7．已知

  i

  ，

  j

  ，

  k

  表示共面的三個單位向量，

  i

  ⊥

  j

  ，那么（

  i

  +

  k

  ）?（

  j

  +

  k

  ）的取值范圍是（　　）

  A．[-3，3]

  B．[-2，2]

  C．[ 2 -1， 2 +1]

  D．[1- 2 ，1+ 2 ]
  組卷：542引用：5難度：0.5

  解析

三、簡答題。（共85分）

• 20．已知函數f（x）=

  1

  4

  x³-x²+x.
  （Ⅰ）求曲線y=f（x）的斜率為1的切線方程；
  （Ⅱ）當x∈[-2，4]時，求證：x-6≤f（x）≤x；
  （Ⅲ）設F（x）=|f（x）-（x+a）|（a∈R），記F（x）在區間[-2，4]上的最大值為M（a）．當M（a）最小時，求a的值．
  組卷：4527引用：9難度：0.5

  解析

• 21．給定數列{a_n}，若滿足a₁=a（a＞0且a≠1），對于任意的n,m∈N^*，都有a_n+m=a_n?a_m，則稱數列{a_n}為“指數型數列”．
  （Ⅰ）已知數列{a_n}，{b_n}的通項公式分別為a_n=5×3^n-1，b_n=4ⁿ，試判斷{a_n}，{b_n}是不是“指數型數列”；
  （Ⅱ）若數列{a_n}滿足：a₁=

  1

  2

  ，a_n=2a_na_n+1+3a_n+1（n∈N*），判斷數列{

  1

  a

  n

  +1}是否為“指數型數列”，若是給出證明，若不是說明理由；
  （Ⅲ）若數列{a_n}是“指數型數列”，且a₁=

  a

  +

  1

  a

  +

  2

  （a∈N*），證明：數列{a_n}中任意三項都不能構成等差數列．
  組卷：171引用：3難度：0.9

  解析