2021-2022學年山東省青島市高三（上）期初數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．已知復數z=1+i（i為虛數單位），

  z

  為z的共軛復數，則

  z

  z

  =（　　）

  A．1-i

  B．1+i

  C．-i

  D．i
  組卷：60引用：4難度：0.9

  解析

• 2．已知集合A={a₁，a₂，a₃}的所有非空真子集的元素之和等于9，則a₁+a₂+a₃=（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．6
  組卷：347引用：5難度：0.8

  解析

• 3．已知雙曲正弦函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  e

  x

  -

  e

  -

  x

  2

  ，則（　　）

  A．f（x）為偶函數

  B．f（x）在區間（-∞，+∞）上單調遞減

  C．f（x）沒有零點

  D．f（x）在區間（-∞，+∞）上單調遞增
  組卷：65引用：1難度：0.7

  解析

• 4．《算法統宗》是中國古代數學名著，在這部著作中，許多數學問題都是以歌訣形式呈現的，“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數要詳推．在這個問題中，這位公公最年幼的兒子的歲數為（　　）

  A．8

  B．11

  C．14

  D．16
  組卷：204引用：6難度：0.8

  解析

• 5．已知一個樣本，樣本容量為10，平均數為15，方差為3，現從樣本中去掉一個數據15，此時樣本的平均數為

  x

  ，方差為s²，則（　　）

  A． x ＞ 15 ， s 2 ＜ 3

  B． x ＜ 15 ， s 2 ＞ 3

  C． x = 15 ， s 2 ＞ 3

  D． x = 15 ， s 2 ＜ 3
  組卷：344引用：3難度：0.7

  解析

• 6．已知

  a

  =

  x

  2

  +

  1

  4

  x

  2

  ，

  b

  =

  π

  -

  0

  .

  1

  ，

  c

  =

  lo

  g

  3

  [

  （

  2

  -

  t

  ）

  t

  ]

  ，則a,b,c的大小關系為（　　）

  A．a＞b＞c

  B．b＞a＞c

  C．c＞b＞a

  D．a＞c＞b
  組卷：72引用：2難度：0.8

  解析

• 7．為調查新冠疫苗接種情況，需從5名志愿者中選取3人到3個社區進行走訪調查，每個社區1人，若甲乙兩人至少有一人入選，則不同的選派方法有（　　）

  A．12種

  B．18種

  C．36種

  D．54種
  組卷：163引用：2難度：0.8

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

• 21．已知O為坐標原點，拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線與圓O：x²+y²=5交于M，N兩點，拋物線C與圓O交于M′，N′兩點，且|MN|=|M′N′|．
  （1）求拋物線C的標準方程；
  （2）動點G在拋物線C的準線上，直線AB與拋物線C交于A，B兩點，直線A′B′與拋物線C交于A′，B′兩點，AB與A′B′的交點為G，且|GA|?|GB|=2|GA′|?|GB′|．設直線AB，A′B′的斜率分別為k₁，k₂，證明：

  1

  k

  2

  1

  -

  2

  k

  2

  2

  為定值．
  組卷：146引用：1難度：0.3

  解析

• 22．已知函數f（x）=（x-1）lnx-a（x+1），a∈R．
  （1）若a≤0，求證：f（x）≥0；
  （2）若f（x）有且只有兩個零點x₁，x₂．
  （ⅰ）求a的取值范圍；
  （ⅱ）求證：

  1

  ln

  x

  1

  -

  a

  +

  1

  ln

  x

  2

  -

  a

  ＞

  0

  ．
  組卷：158引用：1難度：0.3

  解析