2023-2024學年上海市楊浦區同濟大學一附中高三（上）期中數學試卷

一、填空題（1-6題每小題4分，7-12每小題4分，滿分54分）

• 1．關于x的不等式

  x

  -

  3

  x

  ≥

  0

  的解集是

  ．
  組卷：29引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知函數f（x）=tan2x,則函數f（x）的最小正周期是

  ．
  組卷：45引用：2難度：0.9

  解析

• 3．二項式

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  6

  的展開式中，常數項為

  ．
  組卷：42引用：3難度：0.6

  解析

• 4．雙曲線

  y

  2

  3

  -

  x

  2

  =

  1

  兩條漸近線的夾角大小是

  ．
  組卷：111引用：2難度：0.8

  解析

• 5．已知角α的頂點是坐標原點，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點

  P

  （

  -

  3

  5

  ，

  4

  5

  ）

  ．則cos2α=

  ．
  組卷：197引用：9難度：0.7

  解析

• 6．在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平行平面A₁BD與CD₁B₁間的距離為

  ．
  組卷：17引用：1難度：0.6

  解析

• 7．設

  m

  ，

  n

  是兩個單位向量，向量

  a

  =

  m

  -

  2

  n

  ，且

  |

  a

  |

  =

  5

  ，則

  m

  ?

  n

  =

  ．
  組卷：42引用：2難度：0.8

  解析

三、解答題（滿分78分）

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）經過A（1，0），B（0，b）兩點．O為坐標原點，且△AOB的面積為

  2

  4

  ，過點P（0，1）且斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點M，N．且直線AM，AN分別與y軸交于點S，T．
  （1）求橢圓C的方程；
  （2）若以MN為直徑的圓經過坐標原點，求直線l的方程；
  （3）設

  PS

  =

  λ

  PO

  ，

  PT

  =

  μ

  PO

  ，求λ+μ的取值范圍．
  組卷：128引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知函數f（x）=lnx-ax,g（x）=（a+1）x²-1，（a∈R）．
  （1）當a=2時，求函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
  （2）令當h（x）=2f（x）-g（x），若函數h（x）有兩個零點x₁，x₂，求實數a的取值范圍；
  （3）在（2）的條件下，證明：

  x

  1

  +

  x

  2

  ＞

  2

  a

  +

  1

  ．
  組卷：165引用：2難度：0.5

  解析