2023-2024學年天津市河西區新華中學高三（上）第一次月考數學試卷

一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．已知集合A={x∈Z|-2＜x＜4}，B={x|x²+2x-3＜0}，則A∩B=（　　）

  A．（-2，1）

  B．（-1，3）

  C．{0，1，2}

  D．{-1，0}
  組卷：17引用：2難度：0.9

  解析

• 2．設a,b∈R，則“a＜b”是“（a-b）a²＜0”的（　　）

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：475引用：18難度：0.9

  解析

• 3．已知函數y=f（x）的部分圖象如圖，則f（x）的解析式可能為（　　）

  A． 5 e x - 5 e - x x 2 + 2	B． 5 sinx x 2 + 1
  C． 5 e x + 5 e - x x 2 + 2	D． 5 cosx x 2 + 1
  組卷：45引用：5難度：0.8

  解析

• 4．已知a=log₅2，b=log_0.50.2，c=0.5^0.2，則a,b,c的大小關系為（　　）

  A．a＜c＜b

  B．a＜b＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  組卷：7080引用：55難度：0.7

  解析

• 5．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a,b,c,若c²=（a-b）²+6，C=

  π

  3

  ，則△ABC的面積是（　　）

  A． 3 3 2

  B． 9 3 2

  C． 3

  D．3 3
  組卷：510引用：17難度：0.7

  解析

• 6．已知α∈（0，π），sinα+cosα=

  3

  3

  ，則cos2α=（　　）

  A．± 5 3

  B． 5 3

  C．- 5 3

  D．± 5 9
  組卷：719引用：5難度：0.9

  解析

三.解答題：本大題共5小題，共75分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

• 19．已知函數f（x）=

  x

  ，g（x）=alnx,a∈R，
  （Ⅰ）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點處有共同的切線，求a的值和該切線方程；
  （Ⅱ）設函數h（x）=f（x）-g（x），當h（x）存在最小值時，求其最小值φ（a）的解析式；
  （Ⅲ）對（Ⅱ）中的φ（a），證明：當a∈（0，+∞）時，φ（a）≤1．
  組卷：678引用：10難度：0.5

  解析

• 20．已知函數f（x）=2lnx-ax²+2x-1，g（x）=f（x）-2ax+3（a≤R）．
  （Ⅰ）若f（1）=-1，求函數y=f（x）的極值；
  （Ⅱ）若關于x的不等式g（x）≤0恒成立，求整數a的最小值；
  （Ⅲ）當0＜a＜1時，函數g（x）恰有兩個不同的零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：x₁+x₂＞

  2

  a

  ．
  組卷：161引用：6難度：0.5

  解析