2022-2023學年吉林省長春市吉大附中實驗學校高一（下）期中數學試卷

一、單項選擇題（本大題包括8個小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）．

• 1．下列向量中不是單位向量的是（　　）

  A． a = （ 1 ， 0 ）	B． a = （ 1 ， 1 ）
  C． a = （ cosα ， sinα ）	D． a | a | （ | a | ≠ 0 ）
  組卷：73引用：2難度：0.8

  解析

• 2．在復平面內，復數z=

  i

  1

  +

  2

  i

  的共軛復數對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：85引用：9難度：0.8

  解析

• 3．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個正方形，則原來的圖形是（　　）

  A．

  B．

  C．

  D．
  組卷：1535引用：30難度：0.9

  解析

• 4．米斗是古代官倉、米行等用來稱量糧食的器具，鑒于其儲物功能以及吉祥富足的寓意，現今多在超市、糧店等廣泛使用．如圖為一個正四棱臺形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形邊長分別為30cm、20cm,側棱長為

  5

  11

  cm

  ，若將該米斗盛滿大米（沿著上底面刮平后不溢出），設每立方分米的大米重0.8千克，則該米斗盛裝大米約（　　）

  A．6.6千克

  B．6.8千克

  C．7.6千克

  D．7.8千克
  組卷：90引用：4難度：0.6

  解析

• 5．已知△ABC的外接圓圓心為O，且

  2

  AO

  =

  AB

  +

  AC

  ，

  ∠

  ACB

  =

  π

  6

  ，則向量

  CA

  在向量

  CB

  上的投影向量為（　　）

  A． 3 4 CB

  B． - 1 4 CB

  C． - 3 4 CB

  D． 1 4 CB
  組卷：250引用：2難度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,已知

  2023

  tan

  A

  +

  2023

  tan

  B

  =

  1

  tan

  C

  ，則

  a

  2

  +

  b

  2

  c

  2

  =（　　）

  A．2023

  B．2024

  C．4046

  D．4047
  組卷：126引用：2難度：0.5

  解析

• 7．如圖，在直角梯形ABCD中，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=4，E為CD中點，M，N分別為AD，BC的中點，將△ADE沿AE折起，使點D到D₁，M到M₁，在翻折過程中，有下列命題：①|M₁N|的最小值為1；②M₁N∥平面CD₁E③存在某個位置，使M₁E⊥DE④無論M₁位于何位置，均有M₁N⊥AE．其中正確命題的個數為（　　）

  A．1

  B．2

  C．3

  D．4
  組卷：61引用：2難度：0.7

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四、解答題（本題共6小題，共70分．解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a,過PO上的一點O'作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱．
  （1）若O'是PO的中點，求圓錐挖去圓柱剩下幾何體的表面積和體積；
  （2）當OO'為何值時，被挖去的圓柱的側面積最大？并求出這個最大值．
  組卷：287引用：4難度：0.5

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• 22．某農場有一塊等腰直角三角形的空地ABC，其中斜邊BC的長度為400米，為迎接“五一”觀光游，欲在邊界BC上選擇一點P，修建觀賞小徑PM，PN，其中M，N分別在邊界AB，AC上，小徑PM，PN與邊界BC的夾角都是60°，區域PMB和區域PNC內種植郁金香，區域AMPN內種植月季花．
  （1）判斷觀賞小徑PM與PN的長度之和是否為定值？若是請求出定值，若不是請說明理由；
  （2）為深度體驗觀賞，準備在月季花區域內修建小徑MN，當點P在何處時，三條小徑PM，PN，MN的長度之和最小？
  （3）求郁金香區域面積之和的最小值．
  組卷：18引用：2難度：0.6

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