2023-2024學年江蘇省南通市海安高級中學高一（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．下列關系中正確的是（　　）

  A．π∈Q	B．??{0}
  C．{0，1}?{（0，1）}	D．{（a,b）}={（b,a）}
  組卷：37引用：1難度：0.7

  解析

• 2．設a,b∈R，則”a＞2且b＞1”是”a+b＞3且ab＞2”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：81引用：8難度：0.9

  解析

• 3．已知a+

  1

  a

  =3，則

  a

  1

  2

  +

  a

  -

  1

  2

  等于（　　）

  A．2

  B． 5

  C．- 5

  D． ± 5
  組卷：187引用：5難度：0.9

  解析

• 4．已知函數f（x²-1）=x⁴+1，則函數y=f（x）的解析式是（　　）

  A．f（x）=x2+2x+2，x≥0	B．f（x）=x2+2x+2，x≥-1
  C．f（x）=x2-2x+2，x≥0	D．f（x）=x2-2x+2，x≥-1
  組卷：325引用：24難度：0.8

  解析

• 5．已知

  A

  =

  {

  x

  |

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  3

  +

  2

  x

  -

  4

  }

  ，B={x|x²-8x+15≤0}．則A∩B=（　　）

  A．[2，5]

  B．[3，5]

  C．（3，5]

  D．（2，+∞）
  組卷：26引用：1難度：0.8

  解析

• 6．若兩個正實數x,y滿足x+y=xy且存在這樣的x,y使不等式x+4y＜m²+8m有解，則實數m的取值范圍是（　　）

  A．（-1，9）	B．（-9，1）
  C．（-∞，-9）∪（1，+∞）	D．（-∞，-1）∪（9，+∞）
  組卷：112引用：2難度：0.6

  解析

• 7．中國的5G技術領先世界，5G技術的數學原理之一便是著名的香農公式

  C

  =

  W

  lo

  g

  2

  （

  1

  +

  S

  N

  ）

  ，它表示在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速率C取決于信通帶寬W、信道內信號的平均功率S、信道內部的高斯噪聲功率N的大小，其中

  S

  N

  叫做信噪比．當信噪比比較大時，公式中真數中的1可以忽略不計，按照香農公式，由于技術提升，帶寬W在原來的基礎上增加20%，信噪比

  S

  N

  從1000提升至4000，則C大約增加了（　　）
  （附：lg5≈0.6990）

  A．22%

  B．33%

  C．44%

  D．55%
  組卷：100引用：6難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．

• 21．某公司為調動員工工作積極性擬制定以下獎勵方案，要求獎金y（單位：元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過90萬元，同時獎金不超過投資收益的20%即假定獎勵方案模擬函數為y=f（x）時，該公司對函數模型的基本要求是：當x∈[25，1600]時，①f（x）是增函數；②f（x）≤90恒成立；③f（x）≤

  x

  5

  恒成立．
  （1）現有兩個獎勵函數模型：（Ⅰ）f（x）=

  1

  15

  x+10；（Ⅱ）f（x）=2

  x

  -6．試分析這兩個函數模型是否符合公司要求？
  （2）已知函數f（x）=a

  x

  -10（a≥2）符合公司獎勵方案函數模型要求，求實數a的取值范圍．
  組卷：214引用：8難度：0.5

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• 22．已知定義在R的函數f（x）滿足：①對?x,y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y）-1；②當x＞0時，f（x）＜1；③f（1）=-2．
  （1）求f（0），判斷并證明f（x）的單調性；
  （2）若?x∈[-1，1]，使得f（x）≤m²-2am-5對?a∈[-1，1]成立，求實數m的取值范圍；
  （3）解關于x的不等式f（ax²）＜f（（a+2）x）+6．
  組卷：177引用：4難度：0.5

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