2022-2023學年河南省實驗中學高一（下）第一次月考數學試卷

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知

  |

  a

  |

  =

  3

  ，

  |

  b

  |

  =

  4

  ，且

  a

  與

  b

  的夾角θ=120°，則

  a

  ?

  b

  等于（　　）

  A．-6

  B．6

  C． - 6 3

  D． 6 3
  組卷：296引用：5難度：0.8

  解析

• 2．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a,b,c,且2acosC=2b-c,則A=（　　）

  A． π 4

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 3 π 4
  組卷：325引用：2難度：0.7

  解析

• 3．如圖，在矩形ABCD中，M是CD的中點，若

  AC

  =

  λ

  AM

  +

  μ

  AB

  ，則λ+μ=（　　）

  A． 1 2

  B．1

  C． 3 2

  D．2
  組卷：707引用：11難度：0.7

  解析

• 4．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，P是正六邊形ABCDEF邊上任意一點，則

  PA

  ?

  PB

  的最大值為（　　）

  A．13

  B．12

  C．8

  D． 2 3
  組卷：545引用：5難度：0.6

  解析

• 5．小明同學為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為

  15

  （

  3

  -

  1

  ）

  m,在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是15°和60°，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30°，則小明估算索菲亞教堂的高度為（　　）

  A．20m

  B．30m

  C．20 3 m

  D．30 3 m
  組卷：302引用：13難度：0.5

  解析

• 6．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別交AB，AC兩邊于M，N兩點，且

  AM

  =x

  AB

  ，

  AN

  =y

  AC

  ，則2x+y的最小值為（　　）

  A． 3 + 2 2 3

  B． 4 2 3

  C．3 + 2 2

  D．4 2
  組卷：276引用：9難度：0.6

  解析

• 7．在△ABC中，B=60°，O是△ABC的外心，若OB=2，則

  AO

  ?

  AC

  =（　　）

  A． 3 2

  B．3

  C．6

  D．6 3
  組卷：161引用：4難度：0.5

  解析

四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．如圖，在△ABC中，AB=2，3acosB-bcosC=ccosB，點D在線段BC上．
  （1）若

  ∠

  ADC

  =

  3

  π

  4

  ，求AD的長；
  （2）若BD=2DC，△ACD的面積為

  4

  2

  3

  ，求

  sin

  ∠

  BAD

  sin

  ∠

  CAD

  的值．
  組卷：993引用：8難度：0.5

  解析

• 22．借助國家實施鄉村振興政策支持，某網紅村計劃在村內扇形荷花水池OAB中修建荷花觀賞臺，助推鄉村旅游經濟．如圖所示，扇形荷花水池OAB的半徑為20米，圓心角為

  π

  4

  ．設計的荷花觀賞臺由兩部分組成，一部分是矩形觀賞臺MNPQ，另一部分是三角形觀賞臺AOC．現計劃在弧AB上選取一點M，作MN平行OA交OB于點N，以MN為邊在水池中修建一個矩形觀賞臺MNPQ，NP長為5米；同時在水池岸邊修建一個滿足AO=OC且∠COA=2∠AOM的三角形觀賞臺AOC，記∠AOM=x（

  π

  6

  ≤

  x

  ≤

  π

  4

  ）．
  （1）當∠AOM=

  π

  6

  時，求矩形觀賞臺MNPQ的面積；
  （2）求整個觀賞臺（包括矩形觀賞臺和三角形觀賞臺兩部分）面積的最大值．
  組卷：208引用：5難度：0.1

  解析