2023年重慶市南開中學高考數學第八次質檢試卷

一、單項選擇題：本題共8小題.每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求

• 1．設全集U={-2，-1，0，1，2}，集合A={1，-1，0}，B={-1，2}，則A∪?_UB=（　　）

  A．{0，1}

  B．{-2，0，1}

  C．{-1，0，1}

  D．{-2，-1，0，1}
  組卷：83引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知i為虛數單位，復數z=（1-2i）（a+i）的虛部與實部之和為0，則實數a=（　?。?/h2>

  A．-1

  B．0

  C．1

  D．3
  組卷：72引用：1難度：0.8

  解析

• 3．已知函數f（x）=x-

  1

  x

  ，則如圖所對應的函數的解析式為?（　　）

  A．y=f（|x+1|）

  B．y=f（|x|-1）

  C．y=f（|x|+1）

  D．y=|f（x+1）|
  組卷：74引用：1難度：0.7

  解析

• 4．已知點P引圓x²+y²-6x-8y+24=0的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，若△PAB為等邊三角形，則|OP|的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．[4，6]

  B．[3，7]

  C．[3，6]

  D．[2，8]
  組卷：112引用：2難度：0.8

  解析

• 5．在△ABC中，D為BC的中點，E為邊AC上靠近點C的三等分點，記

  AD

  =

  a

  ，

  BE

  =

  b

  ，用

  a

  ，

  b

  表示

  BC

  為（　?。?/h2>

  A． 1 3 a + b

  B．- 2 3 a +2 b

  C． 2 a - b

  D． 2 5 a + 6 5 b
  組卷：116引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知一個15位正整數N=a×10¹⁴（1≤a＜10），且N的30次方根仍是一個整數，則這個30次方根為（參考數據：lg2≈0.3，lg3=0.48，lg5≈0.7）（　?。?/h2>

  A．3

  B．4

  C．5

  D．6
  組卷：80引用：1難度：0.6

  解析

• 7．已知點P為雙曲線C：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞0，b＞0）上位于第一象限內的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，F₁ 為雙曲線C的左焦點，若

  PA

  =

  2

  A

  F

  1

  ，則漸近線l的斜率為（　?。?/h2>

  A．-3

  B． - 2 2

  C． - 5

  D． - 3 2
  組卷：197引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）的左右焦點為F₁，F₂，|F₁F₂|=2

  3

  ，P為橢圓C上異于長軸端點的一個動點，O為坐標原點，直線PF₁，PO，PF₂分別與橢圓C交于另外三點M，Q，N，當P為橢圓上頂點時，有

  P

  F

  1

  =2

  F

  1

  M

  ．
  （1）求橢圓C的標準方程；
  （2）求

  S

  △

  PO

  F

  1

  S

  △

  PQM

  +

  S

  △

  PO

  F

  2

  S

  △

  PQN

  的最大值．
  組卷：195引用：2難度：0.5

  解析

• 22．已知函數f（x）=x+alnx+

  2

  a

  2

  x

  ，其中a＞0．
  （1）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍；
  （2）令g（x）=f（x）-

  4

  a

  2

  x

  ，已知0＜p＜q＜r且2q＞p+r,試證明：g（p）+g（r）＜2g（q）．
  組卷：58引用：1難度：0.6

  解析