2022-2023學年上海師大附中高二（下）期中數學試卷

一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）

• 1．過點（1，-2），且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是

  ．
  組卷：43引用：2難度：0.8

  解析

• 2．已知直線mx+2y-1=0與x+（1+m）y+2=0平行，則實數m的值為

  ．
  組卷：57引用：1難度：0.7

  解析

• 3．設兩圓C₁：x²+y²-1=0與圓C₂：x²+y²-2x+4y=0的公共弦所在的直線方程為

  ．
  組卷：240引用：7難度：0.6

  解析

• 4．若A為橢圓

  x

  2

  25

  +

  y

  2

  9

  =

  1

  上的點，F₁、F₂為橢圓的左右焦點，則△AF₁F₂的周長

  ．
  組卷：87引用：3難度：0.8

  解析

• 5．已知雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  1

  ）

  的兩條漸近線的夾角為

  π

  3

  ，則雙曲線的實軸長為

  ．
  組卷：281引用：5難度：0.6

  解析

• 6．已知直線l經過點A（-1，3），且與圓C：（x-1）²+y²=4相切，則直線l的方程為

  ．
  組卷：112引用：2難度：0.6

  解析

• 7．若圓O：x²+y²=r²上有且只有兩點到直線l：3x+4y-20=0的距離為2，則圓的半徑r的取值范圍是

  ．
  組卷：42引用：3難度：0.7

  解析

三.解答題（本大題共5題，滿分78分，解答下列各題必須寫出必要的步驟）.

• 20．已知拋物線Γ：y²=2px的焦點為F（1，0），拋物線Γ上存在不同的兩點A，B（異于原點O）．
  （1）求拋物線Γ的方程；
  （2）若直線AB的傾斜角為

  π

  3

  且拋物線焦點F到直線AB的距離不小于1，求直線AB在y軸上的截距n的取值范圍；
  （3）若點A，B，F三點共線，求∠AOB的取值范圍．
  組卷：97引用：2難度：0.5

  解析

• 21．已知F₁、F₂分別為橢圓Γ：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  =1的左、右焦點，M為Γ上的一點．
  （1）若點M的坐標為（1，m）（m＞0），求△F₁MF₂的面積；
  （2）若點M的坐標為（0，1），且直線y=kx-

  3

  5

  （

  k

  ∈

  R

  ）

  與Γ交于不同的兩點A、B，求證：

  MA

  ?

  MB

  為定值，并求出該定值；
  （3）如圖，設點M的坐標為（s,t），過坐標原點O作圓M：（x-s）²+（y-t）²=r²（其中r為定值，0＜r＜1且|s|≠r）的兩條切線，分別交Γ于點P，Q，直線OP，OQ的斜率分別記為k₁，k₂.如果k₁k₂為定值，求|OP|?|OQ|的取值范圍，以及|OP|?|OQ|取得最大值時圓M的方程．
  組卷：202引用：4難度：0.2

  解析