2023-2024學(xué)年上海市浦東新區(qū)華東師大二附中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）

• 1．不等式

  x

  -

  2

  x

  -

  1

  ≥2的解集是

  ．
  組卷：446引用：14難度：0.9

  解析

• 2．已知

  α

  ∈

  （

  -

  π

  2

  ，

  0

  ）

  ，

  cos

  （

  α

  -

  π

  2

  ）

  =

  -

  3

  5

  ，則sin2α=

  ．
  組卷：70引用：1難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)

  z

  =

  2

  +

  i

  1

  +

  i

  2

  +

  i

  5

  ，則

  z

  =

  ．
  組卷：23引用：2難度：0.8

  解析

• 4．鈍角△ABC中，

  a

  =

  7

  ，

  b

  =

  3

  ，

  A

  =

  60

  °

  ，則△ABC的面積是

  ．
  組卷：96引用：3難度：0.7

  解析

• 5．圓x²+y²+ax+2ay+2a²+a-1=0的半徑的最大值為

  ．
  組卷：231引用：7難度：0.5

  解析

• 6．記S_n為等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S₄=-5，S₆=21S₂，則S₈=

  ．
  組卷：128引用：3難度：0.7

  解析

• 7．已知

  a

  、

  b

  滿(mǎn)足

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =

  1

  ，且

  a

  =

  （

  1

  ，-

  1

  ）

  ，則

  b

  在

  a

  上數(shù)量投影的最小值為

  ．
  組卷：43引用：1難度：0.5

  解析

三、解答題（本大題共有5題滿(mǎn)分78分）解下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟．

• 20．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C：（x+2）²+y²=3的兩條切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為P，Q，直線(xiàn)PQ恰為拋物線(xiàn)E：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)．
  （1）求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
  （2）設(shè)點(diǎn)T是圓C的動(dòng)點(diǎn)，拋物線(xiàn)E上四點(diǎn)A，B，M，N滿(mǎn)足：

  TA

  =

  2

  TM

  ，

  TB

  =

  2

  TN

  ，設(shè)AB中點(diǎn)為D．
  （i）求直線(xiàn)TD的斜率；
  （ii）設(shè)△TAB面積為S，求S的最大值．
  組卷：570引用：9難度：0.4

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• 21．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1），g（x）=x²+bx+1（b為常數(shù)），h（x）=f（x）-g（x）．
  （1）若存在過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象相切，求實(shí)數(shù)b的值；
  （2）當(dāng)b=-2時(shí)，?x₁、x₂∈[0，1]使得h（x₁）-h（x₂）≥M成立，求M的最大值；
  （3）若函數(shù)h（x）的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂，求證：h′（

  x

  1

  +

  x

  2

  2

  ）＜0．
  組卷：287引用：4難度：0.1

  解析