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2021-2022學年上海中學高一（下）期末數學試卷

發布：2024/12/27 13:30:3

一、填空題（每空3分，共39分）

1．已知點A（1，0），B（3，0），向量
AC
=（-4，-3），則向量
BC
=
．
組卷：66引用：1難度：0.7
解析
2．已知復數z=-1-i,則|（1-z）
z
|=
．
組卷：43引用：2難度：0.7
解析
3．若
a
=（2，-1），
b
=（-3，4），則
a
在
b
方向上的數量投影是
．
組卷：30引用：2難度：0.7
解析
4．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱BB₁與平面A₁BC₁所成角的余弦值為
．
組卷：72引用：1難度：0.6
解析
5．設x為虛數，若x+
1
x
=-1，則x²⁰²²-
1
x
2022
=
．
組卷：65引用：1難度：0.7
解析
6．在四面體ABCD中，若棱AC與BD所成角為60°，且AC=BD=4，則連接AB，BC，CD，DA四條棱的中點所得四邊形的面積為
．
組卷：37引用：2難度：0.6
解析
7．在復平面上，四個復數所對應的點分別位于一個正方形的四個頂點，其中三個復數分別是1+2i,-2+i,-1-2i,則第四個復數是
．
組卷：50引用：1難度：0.6
解析

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三、解答題（本大題共6題，共48分，解答各題必須寫出必要的步驟）

21．如圖，某鋼性“釘”由四條線段組成，其結構能使它任意拋至水平面后，總有一端所在的直線豎直向上，并記組成該“釘”的四條等長的線段公共點為O，釘尖為A_i（i=1，2，3，4）．
（1）當A₁，A₂，A₃在同一水平面內時，求OA₁與平面A₁A₂A₃所成角的大小（結果用反三角函數值表示）；
（2）若該“釘”的三個端尖所確定的三角形的面積為2
3
c
m
2
，要用某種線性材料復制100枚這種“釘”（損耗忽略不計），共需要該種材料多少厘米？
組卷：22引用：2難度：0.4
解析
22．我們學過二維的平面向量，其坐標為
α
=（t₁，t₂）（t_k∈R，k=1，2），那么對于n（n∈N^*，n≥2）維向量，其坐標為
α
=（t₁，t₂，?，t_n）（t_k∈R，k=1，2，?，n）．設n（n∈N^*，n≥2）維向量的所有向量組成集合A_n={
α
|
α
=（t₁，t₂，?，t_n），t_k∈R，k=1，2，?，n}．當
α
=（t₁，t₂，?，t_n）（t_k∈{0，1}，k=1，2，?，n）時，稱為A_n的“特征向量”，如A₂={
α
|
α
=（t₁，t₂），t_k∈R，k=1，2}的“特征向量”有
α
1
=（0，0），
α
2
=（0，1），
α
3
=（1，0），
α
4
=（1，1）．
設
α
=（x₁，x₂，?，x_n）和
β
=（y₁，y₂，?，y_n）為A_n的“特征向量”，定義|
α
，
β
|=
1
2
[
（
x
1
+
y
1
-
|
x
1
-
y
1
|
）
+
（
x
2
+
y
2
-
|
x
2
-
y
2
|
）
+
?
+
（
x
n
+
y
n
-
|
x
n
-
y
n
|
）
]
．
（1）若
α
，
β
∈A₃，且
α
=（1，1，0），
β
=（0，1，1），計算|
α
，
α
|，|
α
，
β
|的值；
（2）設B?A₄且B中向量均為A₄的“特征向量”，且滿足：?
α
，
β
∈B，當
α
=
β
時，|
α
，
β
|為奇數；當
α
≠
β
時，|
α
，
β
|為偶數．求集合B中元素個數的最大值；
（3）設
B
?
A
n
（
n
∈
N
*
，
n
≥
2
）
，且B中向量均為A_n的“特征向量”，且滿足：?
α
，
β
∈B，且α≠β時，|
α
，
β
|=0．寫出一個集合B，使其元素最多，并說明理由．
組卷：56引用：3難度：0.4
解析