2022年山東省青島市即墨實驗學校自主招生數學試卷

一、選擇題（本大題共8小題，共24分）

• 1．

  6

  cos

  45

  °

  +

  （

  1

  3

  ）

  -

  1

  +

  （

  3

  -

  1

  .

  73

  ）

  0

  +

  |

  5

  -

  3

  2

  |

  的結果為（　　）

  A． 15 - 3 2

  B．9

  C． 9 + 6 2

  D．8
  組卷：47引用：1難度：0.5

  解析

• 2．如圖，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E．若DE=1，則BC的長為（　　）

  A．2+ 2

  B． 2 + 3

  C．2+ 3

  D．3
  組卷：4920引用：41難度：0.7

  解析

• 3．如圖，在平面直角坐標系中，函數y=

  4

  x

  （x＞0）與y=x-1的圖象交于點P（a,b），則代數式

  1

  a

  -

  1

  b

  的值為（　　）

  A．- 1 2

  B． 1 2

  C．- 1 4

  D． 1 4
  組卷：5581引用：33難度：0.5

  解析

• 4．關于x的不等式2x+a≤1只有2個正整數解，則a的取值范圍為（　　）

  A．-5＜a＜-3

  B．-5≤a＜-3

  C．-5＜a≤-3

  D．-5≤a≤-3
  組卷：4555引用：26難度：0.6

  解析

• 5．如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，動點P沿折線BCD從點B開始運動到點D．設運動的路程為x,△ADP的面積為y,那么y與x之間的函數關系的圖象大致是（　　）

  A．	B．
  C．	D．
  組卷：1047引用：43難度：0.5

  解析

• 6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，若將AB繞點A逆時針旋轉60°，使點B落在點B′的位置，連接BB′，過點D作DE⊥BB′，交BB′的延長線于點E，則B′E的長為（　　）

  A． 3 - 1

  B． 2 3 - 2

  C． 2 3 3

  D． 4 3 3
  組卷：2117引用：8難度：0.7

  解析

• 7．已知二次函數y=ax²+bx+c的y與x的部分對應值如表：下列結論：①拋物線的開口向上；②拋物線的對稱軸為直線x=2；③當0＜x＜4時，y＞0；④拋物線與x軸的兩個交點間的距離是4；⑤若A（x₁，2）B（x₂，3）是拋物線上兩點，則x₁＜x₂．其中正確的個數是（　　）

  x	1	0	2	3	4
  y	.5	0	-4	-3	0

  A．2

  B．3

  C．4

  D．5
  組卷：117引用：2難度：0.5

  解析

ж三，解答題（本大題共8小題，共78分）

• 21．知識背景：當a＞0且x＞0時，因為（

  x

  -

  a

  x

  ）²≥0，所以

  x

  -

  2

  a

  +

  a

  x

  ≥

  0

  ，從而

  x

  +

  a

  x

  ≥

  2

  a

  （當

  x

  =

  a

  時取等號）．設函數

  y

  =

  x

  +

  a

  x

  （a＞0，x＞0），由上述結論可知：當x=

  a

  時，該函數有最小值為

  2

  a

  ．
  應用舉例：已知函數y₁=x（x＞0）與函數y₂=

  4

  x

  （x＞0），則當

  x

  =

  4

  =

  2

  時，

  y

  1

  +

  y

  2

  =

  x

  +

  4

  x

  ，有最小值為

  2

  4

  =

  4

  ．
  解決問題：（1）當x＞2時，

  x

  +

  5

  x

  -

  2

  有最

  值為

  ；
  （2）已知函數y₁=x+3（x＞-3）與函數

  y

  2

  =

  （

  x

  +

  3

  ）

  2

  +

  9

  （

  x

  ＞

  -

  3

  ）

  當x取何值時，

  y

  2

  y

  1

  有最小值，最小值是多少？
  （3）已知某設備租賃使用成本包含以下三部分：一是設備的安裝調試費用，共490元：二是設備的租賃使用費用，每天200元；三是設備的折舊費用，它與使用天數的平方成正比，比例系數為0.001．若設該設備的租賃使用天數為x天，則當x取何值時，該設備平均每天的租賃使用成本最低？最低是多少元？
  組卷：165引用：1難度：0.3

  解析

• 22．如圖，在平面直角坐標系中，已知點B的坐標為（-1，0），且OA=OC=4OB，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）圖象經過A，B，C三點．
  （1）求A，C兩點的坐標；
  （2）求拋物線的解析式；
  （3）若點P是直線AC下方的拋物線上的一個動點，作PD⊥AC于點D，當PD的值最大時，求此時點P的坐標及PD的最大值．
  組卷：5448引用：29難度：0.4

  解析