2022-2023學年陜西省西安中學高二（上）期中數學試卷（理科）

一、選擇題。本大題共12小題，每小題3.5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知x,y∈R，命題“若x²+y²=0，則x,y全為0”的否命題是（　　）

  A．若x2+y2≠0，則x,y全不為0

  B．若x,y不全為0，則x2+y2≠0

  C．若x2+y2≠0，則x,y不全為0

  D．若x2+y2=0，則x,y全不為0
  組卷：161引用：3難度：0.7

  解析

• 2．雙曲線

  y

  2

  25

  -

  x

  2

  9

  =1的漸近線方程為（　　）

  A．y=± 4 5 x

  B．y=± 5 4 x

  C．y=± 3 5 x

  D．y=± 5 3 x
  組卷：210引用：4難度：0.8

  解析

• 3．命題“?x＞1，x²-1＞0”的否定形式是（　　）

  A．?x＞1，x2-1≤0	B．?x≤1，x2-1≤0
  C．?x＞1，x2-1≤0	D．?x≤1，x2-1≤0
  組卷：418引用：24難度：0.9

  解析

• 4．如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M為BC的中點，N為A₁C₁靠近A₁的三等分點，設

  AB

  =

  a

  ，

  AC

  =

  b

  ，

  A

  A

  1

  =

  c

  ，則用

  a

  ，

  b

  ，

  c

  表示

  NM

  為（　　）

  A． 1 2 a + 1 6 b - c

  B． - 1 2 a + 1 6 b + c

  C． 1 2 a - 1 6 b - c

  D． - 1 2 a - 1 6 b + c
  組卷：275引用：7難度：0.7

  解析

• 5．已知△ABC的周長為12，B（0，-2），C（0，2），則頂點A的軌跡方程為（　　）

  A． x 2 12 + y 2 16 = 1 （x≠0）	B． x 2 12 + y 2 16 = 1 （y≠0）
  C． x 2 16 + y 2 12 = 1 （x≠0）	D． x 2 16 + y 2 12 = 1 （y≠0）
  組卷：462引用：6難度：0.8

  解析

• 6．設x＞0，y∈R，則“x＞y”是“x＞|y|”的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：189引用：18難度：0.9

  解析

• 7．已知命題p：?x∈R，x²-x+1≥0．命題q：若a²＜b²，則a＜b,下列命題為真命題的是（　　）

  A．p∧q

  B．p∧（￢q）

  C．（￢p）∧q

  D．（￢p）∧（￢q）
  組卷：4071引用：51難度：0.7

  解析

三、解答題。共44分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D、E分別是AC、AB上的點，滿足DE∥BC且DE經過△ABC的重心，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁C⊥CD，M是A₁D的中點，如圖所示．
  （1）求證：A₁C⊥平面BCDE；
  （2）求CM與平面A₁BE所成角的大小；
  （3）在線段A₁B上是否存在點N（N不與端點A₁、B重合），使平面CMN與平面DEN垂直？若存在，求出A₁N與BN的比值；若不存在，請說明理由．
  組卷：483引用：11難度：0.3

  解析

• 21．已知橢圓M：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的一個焦點與短軸的兩端點組成一個正三角形的三個頂點，且橢圓經過點

  N

  （

  2

  ，

  2

  2

  ）

  ．
  （1）求橢圓M的方程；
  （2）若直線y=kx+m（k≠0）與圓E：x²+y²=

  3

  4

  相切于點P，且交橢圓M于A，B兩點，射線OP于橢圓M交于點Q，設△OAB的面積與△QAB的面積分別為S₁，S₂．
  ①求S₁的最大值；
  ②當S₁取得最大值時，求

  S

  1

  S

  2

  的值．
  組卷：168引用：6難度：0.4

  解析