2023-2024學年湖北省武大附中高三（上）模擬數學試卷（A卷）（8月份）

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

• 1．已知復數z=2-i,則|z²|=（　　）

  A． 41

  B．5

  C． 5

  D．25
  組卷：207引用：5難度：0.8

  解析

• 2．設集合A={x|log₃x＜1，x∈Z}，則滿足A∪B={1，2，3，4}的集合B的個數為（　　）

  A．2

  B．3

  C．4

  D．8
  組卷：92引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知α，β∈（0，

  π

  2

  ），2tanα=

  sin

  2

  β

  sinβ

  +

  si

  n

  2

  β

  ，則tan（2α+β+

  π

  3

  ）=（　　）

  A． - 3

  B．- 3 3

  C． 3 3

  D． 3
  組卷：703引用：9難度：0.8

  解析

• 4．把一條線段分為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比，其比值是一個無理數

  5

  -

  1

  2

  ，由于按此比例設計的造型十分美麗柔和，因此稱為黃金分割，黃金分割不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用．在△ABC中，點D為線段BC的黃金分割點（BD＞DC），AB=2，AC=3，∠BAC=60°，則

  AD

  ?

  BC

  =（　　）

  A． 7 5 - 9 2

  B． 9 - 7 5 2

  C． 9 5 - 7 2

  D． 7 - 9 5 2
  組卷：171引用：7難度：0.5

  解析

• 5．下列關于統計概率知識的判斷，正確的是（　　）

  A．將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數和樣本方差分別為 x 1 ， x 2 和 s 2 1 ， s 2 2 ，且已知 x 1 = x 2 ，則總體方差 s 2 = 1 2 （ s 2 1 + s 2 2 ）

  B．在研究成對數據的相關關系時，相關關系越強，相關系數r越接近于1

  C．已知隨機變量X服從正態分布N（μ，σ2），若P（X≥-1）+P（X≥5）=1，則μ=2

  D．按從小到大順序排列的兩組數據：甲組：27，30，37，m,40，50；乙組：24，n,33，44，48，52，若這兩組數據的第30百分位數、第50百分位數都分別對應相等，則m+n=67
  組卷：474引用：3難度：0.5

  解析

• 6．兩千多年前，古希臘數學家阿波羅尼斯采用切割圓錐的方法研究圓錐曲線，他用平行于圓錐的軸的平面截取圓錐得到的曲線叫做“超曲線”，即雙曲線的一支，已知圓錐PQ的軸截面為等邊三角形，平面α∥PQ，平面α截圓錐側面所得曲線記為C，則曲線C所在雙曲線的離心率為（　　）

  A． 2 3 3

  B． 13 3

  C． 3

  D．2
  組卷：194引用：4難度：0.7

  解析

• 7．已知alna=1，

  m

  =

  e

  1

  2

  +

  a

  ，eⁿ=3^a，a^p=2^e，則（　　）

  A．n＜p＜m

  B．p＜n＜m

  C．n＜m＜p

  D．m＜p＜n
  組卷：201引用：5難度：0.5

  解析

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

• 21．已知橢圓

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  2

  2

  ，以C的短軸為直徑的圓與直線y=ax+6相切．
  （1）求C的方程；
  （2）直線l：y=k（x-1）（k≥0）與C相交于A，B兩點，過C上的點P作x軸的平行線交線段AB于點Q，直線OP的斜率為k'（O為坐標原點），△APQ的面積為S₁.△BPQ的面積為S₂，若|AP|?S₂=|BP|?S₁，判斷k?k'是否為定值？并說明理由．
  組卷：626引用：6難度：0.4

  解析

• 22．已知

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  2

  x

  2

  -

  x

  -

  aln

  （

  x

  -

  a

  ）

  ，

  a

  ∈

  R

  ．
  （1）判斷函數f（x）的單調性；
  （2）若x₁，x₂是函數

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  +

  a

  ）

  -

  a

  （

  x

  +

  1

  2

  a

  -

  1

  ）

  的兩個極值點，且x₁＜x₂，求證：

  0

  ＜

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  ＜

  1

  2

  ．
  組卷：291引用：3難度：0.6

  解析