2009-2010學(xué)年四川省成都七中高二（上）數(shù)學(xué)單元測(cè)試：數(shù)列極限、數(shù)學(xué)歸納法

一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）

• 1．

  lim

  n

  →∞

  2

  n

  2

  +

  3

  n

  +

  1

  n

  2

  +

  2

  的值為（　　）

  A．2

  B．0

  C．1

  D． 1 2
  組卷：16引用：1難度：0.9

  解析

• 2．

  lim

  x

  →

  -

  3

  x

  +

  3

  x

  2

  -

  9

  =（　　）

  A． - 1 6

  B．0

  C． 1 6

  D． 1 3
  組卷：69引用：5難度：0.9

  解析

• 3．f（x）=

  3 x + m , （ x ≤ 0 ）

  e x , （ x ＞ 0 ）

  ，若

  lim

  x

  →

  0

  f（x）存在，則常數(shù)m的值為（　　）

  A．0

  B．-1

  C．1

  D．e
  組卷：11引用：1難度：0.9

  解析

• 4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n=k（k∈N^*）時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立．現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)，該命題不成立，那么可推得（　　）

  A．當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立	B．當(dāng)n=6時(shí)，該命題成立
  C．當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立	D．當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立
  組卷：277引用：69難度：0.9

  解析

• 5．若

  lim

  x

  →

  0

  f

  （

  x

  ）

  （

  x

  -

  1

  ）

  x

  2

  +

  x

  存在，則f（x）不可能為（　　）

  A．x2

  B．|x|

  C．x

  D．-x
  組卷：8引用：1難度：0.9

  解析

• 6．已知數(shù)列{a_n}是由正整數(shù)組成的數(shù)列，a₁=4且滿足lga_n=lga_n-1+lgb,其中b＞3，n＞1，且n∈N⁺，則

  lim

  n

  →∞

  3

  n

  -

  1

  -

  a

  n

  3

  n

  -

  1

  +

  a

  n

  等于（　　）

  A．-1

  B．1

  C． 1 4

  D． 1 6
  組卷：14引用：2難度：0.7

  解析

• 7．

  lim

  n

  →∞

  C

  0

  n

  +

  C

  1

  n

  +

  C

  2

  n

  1

  +

  3

  +

  5

  +

  …

  +

  （

  2

  n

  -

  1

  ）

  =（　　）

  A．1

  B． 1 2

  C． 1 3

  D． 1 4
  組卷：30引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（共5小題，滿分70分）

• 20．容器A內(nèi)裝有6升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為20%的鹽水溶液，容器B內(nèi)裝有4升質(zhì)量分?jǐn)?shù)為5%的鹽水溶液，先將A內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入B內(nèi)，再將B內(nèi)的鹽水倒1升進(jìn)入A內(nèi)，稱為一次操作；這樣反復(fù)操作n次，A、B容器內(nèi)的鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)分別為a_n，b_n，
  （Ⅰ）問至少操作多少次，A、B兩容器內(nèi)的鹽水濃度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
  （Ⅱ）求a_n、b_n的表達(dá)式，并求

  lim

  n

  →∞

  a

  n

  與

  lim

  n

  →∞

  b

  n

  的值．
  組卷：20引用：3難度：0.5

  解析

• 21．已知函數(shù)

  f

  （

  x

  ）

  =

  2

  -

  1

  x

  ，數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（a_n-1）（n≥2，n∈N⁺）．
  （Ⅰ）若

  a

  1

  =

  3

  5

  ，數(shù)列{b_n}滿足

  b

  n

  =

  1

  a

  n

  -

  1

  ，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
  （Ⅱ）若

  a

  1

  =

  3

  5

  ，數(shù)列{a_n}中是否存在最大項(xiàng)與最小項(xiàng)，若存在，求出最大項(xiàng)與最小項(xiàng)；若不存在，說明理由；
  （Ⅲ）若1＜a₁＜2，試證明：1＜a_n+1＜a_n＜2．
  組卷：106引用：6難度：0.5

  解析