2023-2024學年河南省洛陽市高二（上）期中數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

• 1．直線3x-2y-3=0的一個方向向量是（　　）

  A．（2，-3）

  B．（2，3）

  C．（-3，2）

  D．（3，2）
  組卷：55引用：1難度：0.8

  解析

• 2．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為上底面A₁C₁的中心，若

  AO

  =

  A

  A

  1

  +

  x

  AB

  +

  y

  AD

  ，則實數x,y的值分別為（　　）

  A．x=1，y=1

  B． x = 1 2 ， y = 1 2

  C． x = 1 2 ， y = 1

  D． x = 1 ， y = 1 2
  組卷：45引用：1難度：0.8

  解析

• 3．“a=-2”是“直線ax+3y-1=0與直線6x+4y-3=0垂直”成立的（　　）

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條件
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：120引用：4難度：0.9

  解析

• 4．如圖，一座圓拱橋，當拱頂離水面2米時，水面寬12米，則當水面下降1米后，水面寬為（　　）

  A． 19 米

  B． 51 米

  C． 2 19 米

  D． 2 51 米
  組卷：46引用：2難度：0.7

  解析

• 5．若過點（1，2）的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線x-y-5=0的距離為（　　）

  A． 5 2 2

  B． 3 2 2

  C． 2

  D． 2 2
  組卷：47引用：1難度：0.7

  解析

• 6．已知直線l：x+ycosθ-3=0，則l的傾斜角α的取值范圍是（　　）

  A．[0，π）	B． [ π 4 ， π 2 ]
  C． [ π 4 ， 3 π 4 ]	D． [ π 4 ， π 2 ） ∪ （ π 2 ， 3 π 4 ]
  組卷：58引用：1難度：0.8

  解析

• 7．已知直線3x+2y-6=0分別與x,y軸交于A，B兩點，若直線x+y-1=0上存在一點C，使|CA|+|CB|最小，則點C的坐標為（　　）

  A． （ 2 3 ， 1 3 ）

  B． （ 6 5 ，- 1 5 ）

  C． （ 4 3 ，- 1 3 ）

  D． （ 4 5 ， 1 5 ）
  組卷：92引用：2難度：0.7

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。

• 21．已知動點E與兩定點

  A

  （

  4

  5

  ，

  4

  5

  ）

  ，B（5，5）的距離之比為

  2

  5

  ．
  （1）求動點E的軌跡C的方程；
  （2）過點P（2，2）作兩條直線分別與軌跡C相交于M，N兩點，若直線PM與PN的斜率之積為1，試問線段MN的中點是否在定直線上，若在定直線上，請求出直線的方程；若不在定直線上，請說明理由．
  組卷：65引用：1難度：0.6

  解析

• 22．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點P，P₁分別為底面ABCD，A₁B₁C₁D₁內一動點，E為P₁B的中點．
  
  （1）如圖1，若P₁為D₁C₁的中點，求平面ADE與平面ABP₁D₁的夾角的余弦值；
  （2）如圖2，若PP₁⊥平面ABCD，P₁A=P₁B，求證：PE∥平面P₁AD．
  組卷：17引用：1難度：0.5

  解析