2023-2024學年湖南省長沙一中高三（上）月考數學試卷（四）

一、選擇題（本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

• 1．已知集合M={0，1，2}，N={x|x=2a,a∈M}，則集合M∩N=（　　）

  A．{0}

  B．{0，1}

  C．{1，2}

  D．{0，2}
  組卷：388引用：73難度：0.9

  解析

• 2．已知平面向量

  AB

  =

  （

  -

  1

  ，

  2

  ）

  ，則與

  AB

  方向相同的單位向量是（　　）

  A． （ 5 5 ，- 2 5 5 ）

  B． （ 2 5 5 ，- 5 5 ）

  C． （ - 5 5 ， 2 5 5 ）

  D． （ - 1 2 ， 1 ）
  組卷：350引用：2難度：0.7

  解析

• 3．第19屆亞運會正在杭州舉行，運動員甲就近選擇A餐廳或者B餐廳就餐，第一天隨機地選擇一餐廳用餐，如果第一天去A餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.7；如果第一天去B餐廳，那么第二天去A餐廳的概率為0.5，運動員甲第二天去A餐廳用餐的概率為（　　）

  A．0.75

  B．0.6

  C．0.55

  D．0.45
  組卷：270引用：4難度：0.7

  解析

• 4．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  A

  sin

  （

  ωx

  +

  φ

  ）

  （

  A

  ＞

  0

  ，

  ω

  ＞

  0

  ，

  |

  φ

  |

  ＜

  π

  2

  ）

  的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（　　）

  A．函數y=f（x）的圖象關于點 （ - π 3 ， 0 ） 對稱

  B．函數y=f（x）的圖象關于直線 x = 5 π 12 對稱

  C．函數y=f（x）在 [ - 2 π 3 ，- π 6 ] 單調遞減

  D．該圖象向右平移 π 6 個單位可得y=2sin2x
  組卷：182引用：3難度：0.6

  解析

• 5．若與y軸相切的圓C與直線l：

  y

  =

  3

  3

  x

  也相切，且圓C經過點

  P

  （

  2

  ，

  3

  ）

  ，則圓C的半徑為（　　）

  A．1

  B． 7 8

  C． 7 8 或 8 3

  D．1或 7 3
  組卷：56引用：2難度：0.6

  解析

• 6．若函數f（x）=a^x+b^x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）是偶函數，則

  1

  a

  +

  4

  b

  的最小值為（　　）

  A．4

  B．2

  C． 2 2

  D． 2 3
  組卷：401引用：8難度：0.6

  解析

• 7．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  kx

  （

  x

  ∈

  [

  1

  e

  ，

  e

  ]

  ）

  ，

  g

  （

  x

  ）

  =

  （

  1

  e

  ）

  x

  2

  ，若f（x），g（x）圖象上分別存在點M，N，使得M，N關于直線y=x對稱，則實數k的取值范圍為（　　）

  A． [ - 1 e ， e ]

  B． [ - 2 e ， 2 e ]

  C． [ - 3 e ， 3 e ]

  D． （ - 2 e ， 2 e ）
  組卷：190引用：3難度：0.9

  解析

四、解答題（本大題共6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 21．已知經過點

  M

  （

  2

  6

  3

  ，

  2

  3

  ）

  的橢圓C₁：

  y

  2

  a

  2

  +

  x

  2

  3

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ）

  的上焦點與拋物線C₂：x²=2py（p＞0）焦點重合，過橢圓C₁上一動點Q作拋物線C₂的兩條切線，切點分別為A，B．
  （1）求C₁和C₂的方程；
  （2）當Q在橢圓C₁位于x軸下方的曲線上運動時，試求△QAB面積的最大值．
  組卷：71引用：1難度：0.5

  解析

• 22．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lnx

  -

  k

  （

  x

  -

  1

  ）

  x

  +

  1

  ．
  （1）若k=2，判斷函數f（x）的單調性，并說明理由；
  （2）若x＞1時，f（x）＞0恒成立．
  （i）求實數k的取值范圍；
  （ⅱ）證明：?n∈N^*，

  1

  n

  +

  1

  +

  1

  n

  +

  2

  +

  1

  n

  +

  3

  +

  …

  +

  1

  2

  n

  ＜

  ln

  2

  ．
  組卷：147引用：3難度：0.3

  解析