2022-2023學年江蘇省常州市金壇區華羅庚中學創新班高一（下）期末數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知復數z滿足

  z

  =

  2

  1

  -

  i

  +

  i

  ，則|z|=（　　）

  A．1

  B． 2

  C． 3

  D． 5
  組卷：291引用：13難度：0.8

  解析

• 2．已知△ABC中，AB=5，BC=7，CA=9，則∠CAB∈（　　）

  A． （ π 6 ， π 5 ）

  B． （ π 5 ， π 4 ）

  C． （ π 4 ， π 3 ）

  D． （ π 3 ， π 2 ）
  組卷：166引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知直線l₁：x+ay+2=0，l₂：2x+4y+3=0相互平行，則l₁、l₂之間的距離為（　　）

  A． 5 10

  B． 5 5

  C． 2 5 5

  D． 5 2
  組卷：582引用：3難度：0.8

  解析

• 4．一個圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為2，高為2，以該圓臺的上底面為底面，挖去一個半球，則剩余部分幾何體的體積為（　　）

  A． 11 3 π

  B． 10 3 π

  C．4π

  D．3π
  組卷：144引用：4難度：0.7

  解析

• 5．若直線x+ay-a-2=0與圓C：（x-2）²+y²=4交于A，B兩點，當|AB|最小時，劣弧

  ?

  AB

  的長為（　　）

  A． π 2

  B． 4 π 3

  C． 2 π 3

  D．π
  組卷：134引用：3難度：0.7

  解析

• 6．在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=6，AB=8，則四棱錐P-ABCD的外接球與內切球的表面積之比為（　　）

  A． 41 2

  B． 41 4

  C．3

  D． 11 2
  組卷：575引用：6難度：0.4

  解析

• 7．在如圖所示的長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=2，AD=3，AA₁=4，點M為棱AA₁的中點，若N為底面A₁B₁C₁D₁內一點，滿足MN∥面BDC₁，設直線MN與直線CC₁所成角為α，則tanα的取值范圍是（　　）

  A． [ 3 4 ， 3 13 13 ]

  B． [ 3 4 ， 3 13 13 ）

  C． [ 3 26 13 ， 3 4 ]

  D． [ 3 26 13 ， 1 2 ]
  組卷：183引用：4難度：0.5

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a,b,c,

  cos

  A

  cos

  C

  =

  -

  3

  a

  2

  b

  +

  3

  c

  ，點D是邊BC上的一點，且

  sin

  ∠

  BAD

  b

  +

  sin

  ∠

  CAD

  c

  =

  3

  2

  a

  ．
  （1）求證：

  AD

  =

  a

  3

  ；
  （2）若CD=2BD，求cos∠ADC．
  組卷：317引用：5難度：0.4

  解析

• 22．在棱長均為2的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E為B₁C₁的中點．過AE的截面與棱BB₁，A₁C₁分別交于點F，G．
  （1）若F為BB₁的中點，求三棱柱被截面AGEF分成上下兩部分的體積比

  V

  1

  V

  2

  ；
  （2）若四棱錐A₁-AGEF的體積為

  7

  3

  12

  ，求截面AGEF與底面ABC所成二面角的正弦值；
  （3）設截面AFEG的面積為S₀，△AEG面積為S₁，△AEF面積為S₂，當點F在棱BB₁上變動時，求

  S

  2

  0

  S

  1

  S

  2

  的取值范圍．
  組卷：474引用：6難度：0.3

  解析