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2023-2024學年河南省鄭州外國語學校高二（上）期中數學試卷

發布：2024/10/12 4:0:3

一、選擇題（每題5分，1-10題為單選；11、12為多選，少選得2分，多選、錯選得0分，共60分）

1．已知曲線
x
2
2
m
-
3
+
y
2
m
-
5
=
1
表示雙曲線，則實數m的取值范圍是（　　）
A．
（
-
∞
，
3
2
）
∪
（
5
，
+
∞
）
B．（5，+∞）
C．
（
-
∞
，
3
2
）
D．
（
3
2
，
5
）
組卷：428引用：14難度：0.7
解析
2．若m,n滿足m+2n-1=0，則直線mx+3y+n=0過定點（　　）
A．
（
1
2
，
1
6
）
B．
（
1
2
，-
1
6
）
C．
（
1
6
，-
1
2
）
D．
（
-
1
6
，
1
2
）
組卷：264引用：8難度：0.9
解析
3．已知F₁，F₂分別是雙曲線
C
：
x
2
4
-
y
2
4
=
1
的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且
P
F
1
?
P
F
2
=
0
，則△PF₁F₂的面積為（　　）
A．2 B．4 C．
2
2
D．
2
3
組卷：916引用：6難度：0.6
解析
4．若雙曲線
x
2
a
-
y
2
b
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
和橢圓
x
2
m
+
y
2
n
=
1
（
m
＞
n
＞
0
）
有共同的焦點F₁，F₂，P是兩條曲線的一個交點，則|PF₁|?|PF₂|=（　　）
A．m²-a² B．
m
-
a
C．
1
2
（
m
-
a
）
D．（m-a）
組卷：226引用：5難度：0.7
解析
5．若過點A（a,a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，則實數a的取值范圍是（　　）
A．（-∞，-3） B．（-3，1）
C．（-∞，-3）∪（1，
3
2
） D．（-∞，-3）∪（1，+∞）
組卷：463引用：2難度：0.5
解析
6．動點P為橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上異于橢圓頂點A（a,0），B（-a,0）的一點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，動圓M與線段F₁P、F₁F₂的延長線及線段PF₂相切，則圓心M的軌跡為除去坐標軸上的點的（　　）
A．拋物線 B．橢圓
C．雙曲線的右支 D．一條直線
組卷：218引用：3難度：0.5
解析
7．點A是圓C₁：（x-2）2+y²=1上的任一點，圓C₂是過點（5，4）且半徑為1的動圓，點B是圓C₂上的任一點，則AB長度的最小值為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
組卷：115引用：2難度：0.5
解析

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三、解答題（寫清楚必要的解題步驟、文字說明以及計算過程，17題10分，18-22題每題12分，共70分）

21．已知橢圓C：
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）的左，右焦點分別為F₁，F₂，焦距為
2
3
，點Q（
3
，-
1
2
）在橢圓C上．
（1）P是C上一動點，求
P
F
1
?
P
F
2
的范圍；
（2）過C的右焦點F₂，且斜率不為零的直線l交C于M，N兩點，求△F₁MN的內切圓面積的最大值．
組卷：228引用：5難度：0.5
解析
22．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，
PA
=
PB
=
2
．M是棱PD上的點，且四面體MPBC的體積為
3
6
．
（1）證明：PM=MD；
（2）若過點C，M的平面α與BD平行，且交PA于點Q，求平面BCQ與平面ABCD夾角的余弦值．
組卷：670引用：9難度：0.4
解析

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A．（ - ∞ ， 3 2 ） ∪ （ 5 ， + ∞ ）	B．（5，+∞）
C．（ - ∞ ， 3 2 ）	D．（ 3 2 ， 5 ）

A．（-∞，-3）	B．（-3，1）
C．（-∞，-3）∪（1， 3 2 ）	D．（-∞，-3）∪（1，+∞）

A．拋物線	B．橢圓
C．雙曲線的右支	D．一條直線

2023-2024學年河南省鄭州外國語學校高二（上）期中數學試卷

一、選擇題（每題5分，1-10題為單選；11、12為多選，少選得2分，多選、錯選得0分，共60分）

1．已知曲線x22m-3+y2m-5=1表示雙曲線，則實數m的取值范圍是（ ）

2．若m,n滿足m+2n-1=0，則直線mx+3y+n=0過定點（ ）

3．已知F1，F2分別是雙曲線C：x24-y24=1的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且PF1?PF2=0，則△PF1F2的面積為（ ）

4．若雙曲線x2a-y2b=1（a＞0，b＞0）和橢圓x2m+y2n=1（m＞n＞0）有共同的焦點F1，F2，P是兩條曲線的一個交點，則|PF1|?|PF2|=（ ）

5．若過點A（a,a）可作圓x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的兩條切線，則實數a的取值范圍是（ ）

6．動點P為橢圓x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上異于橢圓頂點A（a,0），B（-a,0）的一點，F1，F2為橢圓的兩個焦點，動圓M與線段F1P、F1F2的延長線及線段PF2相切，則圓心M的軌跡為除去坐標軸上的點的（ ）

7．點A是圓C1：（x-2）2+y2=1上的任一點，圓C2是過點（5，4）且半徑為1的動圓，點B是圓C2上的任一點，則AB長度的最小值為（ ）

三、解答題（寫清楚必要的解題步驟、文字說明以及計算過程，17題10分，18-22題每題12分，共70分）

22．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=2．M是棱PD上的點，且四面體MPBC的體積為36．（1）證明：PM=MD；（2）若過點C，M的平面α與BD平行，且交PA于點Q，求平面BCQ與平面ABCD夾角的余弦值．

1．已知曲線
x
2
2
m
-
3
+
y
2
m
-
5
=
1
表示雙曲線，則實數m的取值范圍是（　　）

2．若m,n滿足m+2n-1=0，則直線mx+3y+n=0過定點（　　）

3．已知F₁，F₂分別是雙曲線
C
：
x
2
4
-
y
2
4
=
1
的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且
P
F
1
?
P
F
2
=
0
，則△PF₁F₂的面積為（　　）

4．若雙曲線
x
2
a
-
y
2
b
=
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）
和橢圓
x
2
m
+
y
2
n
=
1
（
m
＞
n
＞
0
）
有共同的焦點F₁，F₂，P是兩條曲線的一個交點，則|PF₁|?|PF₂|=（　　）

5．若過點A（a,a）可作圓x²+y²-2ax+a²+2a-3=0的兩條切線，則實數a的取值范圍是（　　）

6．動點P為橢圓
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1（a＞b＞0）上異于橢圓頂點A（a,0），B（-a,0）的一點，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，動圓M與線段F₁P、F₁F₂的延長線及線段PF₂相切，則圓心M的軌跡為除去坐標軸上的點的（　　）

7．點A是圓C₁：（x-2）2+y²=1上的任一點，圓C₂是過點（5，4）且半徑為1的動圓，點B是圓C₂上的任一點，則AB長度的最小值為（　　）

22．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，
PA
=
PB
=
2
．M是棱PD上的點，且四面體MPBC的體積為
3
6
．
（1）證明：PM=MD；
（2）若過點C，M的平面α與BD平行，且交PA于點Q，求平面BCQ與平面ABCD夾角的余弦值．