2007年第2屆“南方杯”數學邀請賽試卷（初一）

一、選擇題（共6小題，每小題6分，滿分36分）

• 1．若

  （

  a

  -

  1

  ）

  2

  +

  a

  2

  =

  1

  -

  2

  a

  ，則|1-a|-|a|=（　　）

  A．1-2a	B．1
  C．-1	D．以上答案都不對
  組卷：101引用：5難度：0.9

  解析

• 2．若m、n是有理數，關于x的方程3m（2x-1）-n=3（2-n）x有至少兩個不同的解，則另一個關于x的方程（m+n）x+3=4x+m的解的情況是（　　）

  A．有至少兩個不同的解	B．有無限多個解
  C．只有一個解	D．無解
  組卷：1185引用：3難度：0.9

  解析

• 3．若a、b、c均為非零有理數，a²+b²+c²=（a+b+c）²，則

  （

  c

  a

  +

  c

  b

  +

  3

  ）

  3

  =（　　）

  A．8

  B．27

  C．64

  D．1
  組卷：311引用：1難度：0.9

  解析

• 4．數2007⁸+8²⁰⁰⁷的個位數字是（　B　）

  A．1

  B．3

  C．5

  D．9
  組卷：95引用：1難度：0.9

  解析

• 5．若a、b、c、n均是整數，且|a+n|+|2n-b|+|3c+3n|=2007，則a、b、c中必有（　　）

  A．兩個奇數一個偶數

  B．一個奇數兩個偶數

  C．三個奇數

  D．一個奇數兩個偶數或三個奇數
  組卷：120引用：1難度：0.9

  解析

三、解答題（共4小題，滿分60分）

• 15．已知下面著名的“勾股定理”：在一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和等于斜邊的平方．
  試問：是否存在同時滿足下列兩個條件的直角三角形？
  （1）三條邊長均是正整數；
  （2）一條直角邊為素數（也稱質數）p.若存在，請求出另一條直角邊長；若不存在，請說明理由．
  組卷：74引用：1難度：0.1

  解析

• 16．如圖，M是△ABC的BC邊的中點，P是線段AM的中點，直線CP交AB邊于點D．
  試求

  BD

  AD

  及

  CP

  PD

  的值．
  組卷：165引用：1難度：0.1

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