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2022-2023學年湖南省彬州市資興市市立中學高二（上）期末數學試卷

發布：2025/1/3 16:0:3

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．在直角坐標系xOy中，在y軸上截距為-1且傾斜角為
3
π
4
的直線方程為（　　）
A．x+y+1=0 B．x+y-1=0 C．x-y+1=0 D．x-y-1=0
組卷：1067引用：11難度：0.9
解析
2．以雙曲線
x
2
16
-
y
2
9
=1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為（　　）
A．y²=16x B．y²=-16x C．y²=8x D．y²=-8x
組卷：311引用：15難度：0.9
解析
3．已知數列{a_n}的首項為2，滿足
a
n
+
1
=
a
n
-
1
a
n
+
1
，則a₂₀₂₂=（　　）
A．2 B．-3 C．
1
3
D．
-
1
2
組卷：405引用：3難度：0.7
解析
4．已知{a_n}為遞增的等差數列，a₃?a₄=15，a₂+a₅=8，若a_n=21，則n=（　　）
A．9 B．10 C．11 D．12
組卷：841引用：13難度：0.7
解析
5．已知a₁=1，a_n=n（a_n+1-a_n）（n∈N₊），則數列{a_n}的通項公式是a_n=（　　）
A．2n-1 B．
（
n
+
1
n
）
n
+
1
C．n² D．n
組卷：131引用：2難度：0.7
解析
6．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BCA=90°，D₁，F₁分別是A₁B₁，B₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則AD₁與BF₁所成角的余弦值是（　　）
A．
30
10
B．
1
2
C．
30
15
D．
15
10
組卷：284引用：6難度：0.7
解析
7．已知圓M：（x+2）²+y²=4，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A（2，0），線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，則當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為（　　）
A．
x
2
4
-
y
2
12
=
1
（
x
≤
-
2
）
B．
x
2
4
-
y
2
12
=
1
C．
x
2
-
y
2
3
=
1
（
x
≤
-
1
）
D．
x
2
-
y
2
3
=
1
組卷：112引用：3難度：0.5
解析

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四、解答題（本大題6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

21．如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，DD₁⊥平面ABCD，A₁B₁=DD₁=λAB，λ∈（0，1）．
（1）當
λ
=
1
2
時，證明：平面AB₁C⊥平面ABCD；
（2）若二面角B-AD₁-C的大小為30°，求λ的值．
組卷：40引用：1難度：0.4
解析
22．已知雙曲線C₁：
x
2
16
-
y
2
12
=
1
，拋物線C₂：y²=2px（p＞0），F為C₂的焦點，過F垂直于x軸的直線l被拋物線C₂截得的弦長等于雙曲線C₁的實軸長．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）過焦點F作互相垂直的兩條直線，與拋物線C₂分別相交于點A、B和C、D，點P、Q分別為AB、CD的中點，求△FPQ面積的最小值．
組卷：115引用：5難度：0.5
解析

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A． x 2 4 - y 2 12 = 1 （ x ≤ - 2 ）	B． x 2 4 - y 2 12 = 1
C． x 2 - y 2 3 = 1 （ x ≤ - 1 ）	D． x 2 - y 2 3 = 1

2022-2023學年湖南省彬州市資興市市立中學高二（上）期末數學試卷

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1．在直角坐標系xOy中，在y軸上截距為-1且傾斜角為3π4的直線方程為（ ）

2．以雙曲線x216-y29=1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為（ ）

3．已知數列{an}的首項為2，滿足an+1=an-1an+1，則a2022=（ ）

4．已知{an}為遞增的等差數列，a3?a4=15，a2+a5=8，若an=21，則n=（ ）

5．已知a1=1，an=n（an+1-an）（n∈N+），則數列{an}的通項公式是an=（ ）

6．在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分別是A1B1，B1C1的中點，BC=CA=CC1，則AD1與BF1所成角的余弦值是（ ）

7．已知圓M：（x+2）2+y2=4，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A（2，0），線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，則當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為（ ）

四、解答題（本大題6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）

21．如圖，在四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，DD1⊥平面ABCD，A1B1=DD1=λAB，λ∈（0，1）．（1）當λ=12時，證明：平面AB1C⊥平面ABCD；（2）若二面角B-AD1-C的大小為30°，求λ的值．

1．在直角坐標系xOy中，在y軸上截距為-1且傾斜角為
3
π
4
的直線方程為（　　）

2．以雙曲線
x
2
16
-
y
2
9
=1的右頂點為焦點的拋物線的標準方程為（　　）

3．已知數列{a_n}的首項為2，滿足
a
n
+
1
=
a
n
-
1
a
n
+
1
，則a₂₀₂₂=（　　）

4．已知{a_n}為遞增的等差數列，a₃?a₄=15，a₂+a₅=8，若a_n=21，則n=（　　）

5．已知a₁=1，a_n=n（a_n+1-a_n）（n∈N₊），則數列{a_n}的通項公式是a_n=（　　）

6．在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，∠BCA=90°，D₁，F₁分別是A₁B₁，B₁C₁的中點，BC=CA=CC₁，則AD₁與BF₁所成角的余弦值是（　　）

7．已知圓M：（x+2）²+y²=4，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A（2，0），線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，則當點P在圓上運動時，點Q的軌跡方程為（　　）

21．如圖，在四棱臺ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是正方形，DD₁⊥平面ABCD，A₁B₁=DD₁=λAB，λ∈（0，1）．
（1）當
λ
=
1
2
時，證明：平面AB₁C⊥平面ABCD；
（2）若二面角B-AD₁-C的大小為30°，求λ的值．