2023-2024學年天津市南開中學高三（上）統練數學試卷（二）

一、選擇題（每小題5分，共60分）

• 1．已知集合

  A

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  1

  -

  4

  x

  2

  }

  ，B={x|ln（1-x）≤0}，則A∪B=（　　）

  A． [ - 1 2 ， + ∞ ）

  B． [ - 1 2 ， 1 ）

  C．[0，1）

  D．[0，1]
  組卷：88引用：2難度：0.7

  解析

• 2．“0＜a＜b”是“lg|a|-b²＜lg|b|-a²”的（　?。?/h2>

  A．充分不必要條件	B．必要不充分條
  C．充要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：283引用：7難度：0.7

  解析

• 3．已知函數f（x）=x,g（x）=2^x+2^-x，則大致圖象如圖的函數可能是（　?。?/h2>

  A．f（x）+g（x）

  B．f（x）-g（x）

  C．f（x）g（x）

  D． f （ x ） g （ x ）
  組卷：319引用：6難度：0.7

  解析

• 4．設a=2020^0.7，b=2021^0.8，c=log₂₀₂₃2022，則a,b,c的大小關系為（　?。?/h2>

  A．a＜b＜c

  B．b＜a＜c

  C．b＜c＜a

  D．c＜a＜b
  組卷：191引用：5難度：0.8

  解析

• 5．當0＜x≤

  1

  2

  時，4^x＜log_ax,則實數a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（1，2）

  B．（2，+∞）

  C． （ 0 ， 2 2 ）

  D． （ 2 2 ， 1 ）
  組卷：111引用：2難度：0.9

  解析

• 6．對數的發明并非來源于指數，而是源于數學家對簡化大數運算的有效工具的追求．其關鍵是利用對應關系q^k→k：[q⁰，q¹，q²，?，qⁿ，?]→[0，1，2，?，n,?]．觀察下表：
  

  b	?	13	14	15	?	27	28	29	?
  N=2b	?	8192	16384	32768	?	134217728	268435456	536870912	?

  已知299792.468（km/s）是光在真空中的速度，31536000是一年的總秒數（假設一年365天），根據表中數據，計算M=log₂（299792.468×31536000），則M一定落在區間（　　）

  A．（40，42）

  B．（42，44）

  C．（44，46）

  D．（46，48）
  組卷：50引用：2難度：0.7

  解析

• 7．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  lo

  g

  1

  2

  （

  3

  x

  2

  -

  ax

  +

  8

  ）

  在[-1，+∞）上單調遞減，則實數a的取值范圍是（　?。?/h2>

  A．（-∞，-6]

  B．[-11，-6]

  C．（-11，-6]

  D．（-11，+∞）
  組卷：384難度：0.7

  解析

三、解答題（共60分）

• 21．已知函數f（x）=alnx-x²+3x+3a.
  （Ⅰ）當a=2時，求f（x）的極值．
  （Ⅱ）討論f（x）的單調性；
  （Ⅲ）若

  0

  ＜

  a

  ＜

  1

  4

  ，證明：

  f

  （

  x

  ）

  ＜

  e

  x

  x

  -

  x

  2

  +

  3

  x

  ．
  組卷：549引用：5難度：0.3

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• 22．已知a＞0，函數f（x）=ax-xe^x．
  （1）求曲線f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
  （2）證明函數f（x）存在唯一的極值點；
  （3）若?a,使得f（x）≤a+b對任意的x∈R恒成立，求實數b的取值范圍．
  組卷：5377引用：5難度：0.5

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