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2023-2024學年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）月考數學試卷（9月份）

發布：2024/9/6 15:0:11

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.

1．已知直線a,b的方向向量分別為
a
=
（
1
，
0
，-
1
）
，
b
=
（
1
，-
1
，
0
）
，且直線a,b均平行于平面α，平面α的單位法向量為（　　）
A．
（
3
3
，
3
3
，
3
3
）
B．
（
-
3
3
，-
3
3
，-
3
3
）
C．（1，1，1）
D．
（
3
3
，
3
3
，
3
3
）
或
（
-
3
3
，-
3
3
，-
3
3
）
組卷：51引用：4難度：0.7
解析
2．已知點A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空間直角坐標系O-xyz中的兩點，點B關于xOy平面對稱的點為B′，線段AB′的中點與點B的距離為（　　）
A．
2
5
B．
22
C．
3
2
D．
17
組卷：19引用：2難度：0.7
解析
3．已知
{
a
，
b
，
c
}
是空間的一組單位正交基底，若向量
p
在基底
{
a
，
b
，
c
}
下用有序實數組表示為（3，2，1），則與向量
p
同向的單位向量在基底
{
a
，
b
+
c
，
b
-
c
}
下用有序實數組表示為（　　）
A．
（
3
46
23
，
3
46
46
，
46
46
）
B．
（
3
14
14
，
14
7
，
14
14
）
C．
（
3
14
14
，
3
14
28
，
14
28
）
D．
（
-
3
14
14
，-
3
14
28
，-
14
28
）
組卷：45引用：2難度：0.6
解析
4．如圖，在正方體ABEFDCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（　　）
A．-
1
3
B．
1
3
C．-
2
2
3
D．
2
2
3
組卷：123引用：4難度：0.5
解析
5．若
OA
=
（
0
，
0
，
1
）
，
OB
=
（
2
，-
1
，
2
）
，
OC
=
（
1
，
2
，
3
）
，則三棱錐O-ABC的體積為（　　）
A．
5
6
B．
5
2
C．
5
3
D．
5
組卷：25引用：2難度：0.6
解析
6．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P為線段BC₁上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（　　）
A．1 B．
2
2
C．
2
3
3
D．
6
4
組卷：362引用：5難度：0.6
解析
7．兩條異面直線a,b所成的角為60°，在直線a,b上分別取點A，E和點B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，則線段AB的長為（　　）
A．20或12 B．12或
4
3
C．
4
3
或
8
3
D．
8
3
或20
組卷：143引用：5難度：0.6
解析

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四、解答題（本大題共6小題，共70分）

21．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，E，F分別是棱AA₁，BB₁上的點，
A
1
E
=
BF
=
1
3
A
A
1
．
（1）證明：平面CEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AC₁與平面CFC₁夾角余弦值．
組卷：41引用：2難度：0.5
解析
22．如圖，在八面體PABCDQ中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，平面PAD∥平面QBC，二面角P-AB-C與二面角Q-CD-A的大小都是30°，
AP
=
CQ
=
3
，PD⊥AB．
（1）證明：平面PCD∥平面QAB；
（2）設G為△QBC的重心，是否在棱PA上存在點S，使得SG與平面ABCD所成角的正弦值為
30
20
，若存在，求S到平面ABCD的距離，若不存在，說明理由．
組卷：143引用：6難度：0.5
解析

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2023-2024學年湖北省武漢市華中師大一附中高二（上）月考數學試卷（9月份）

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求.

1．已知直線a,b的方向向量分別為a=（1，0，-1），b=（1，-1，0），且直線a,b均平行于平面α，平面α的單位法向量為（ ）

2．已知點A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空間直角坐標系O-xyz中的兩點，點B關于xOy平面對稱的點為B′，線段AB′的中點與點B的距離為（ ）

3．已知{a，b，c}是空間的一組單位正交基底，若向量p在基底{a，b，c}下用有序實數組表示為（3，2，1），則與向量p同向的單位向量在基底{a，b+c，b-c}下用有序實數組表示為（ ）

4．如圖，在正方體ABEFDCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（ ）

5．若OA=（0，0，1），OB=（2，-1，2），OC=（1，2，3），則三棱錐O-ABC的體積為（ ）

6．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，點P為線段BC1上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（ ）

7．兩條異面直線a,b所成的角為60°，在直線a,b上分別取點A，E和點B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，則線段AB的長為（ ）

四、解答題（本大題共6小題，共70分）

21．如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=3，E，F分別是棱AA1，BB1上的點，A1E=BF=13AA1．（1）證明：平面CEF⊥平面ACC1A1；（2）求直線AC1與平面CFC1夾角余弦值．

1．已知直線a,b的方向向量分別為
a
=
（
1
，
0
，-
1
）
，
b
=
（
1
，-
1
，
0
）
，且直線a,b均平行于平面α，平面α的單位法向量為（　　）

2．已知點A（2，3，5），B（2，-1，-1）是空間直角坐標系O-xyz中的兩點，點B關于xOy平面對稱的點為B′，線段AB′的中點與點B的距離為（　　）

3．已知
{
a
，
b
，
c
}
是空間的一組單位正交基底，若向量
p
在基底
{
a
，
b
，
c
}
下用有序實數組表示為（3，2，1），則與向量
p
同向的單位向量在基底
{
a
，
b
+
c
，
b
-
c
}
下用有序實數組表示為（　　）

4．如圖，在正方體ABEFDCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（　　）

5．若
OA
=
（
0
，
0
，
1
）
，
OB
=
（
2
，-
1
，
2
）
，
OC
=
（
1
，
2
，
3
）
，則三棱錐O-ABC的體積為（　　）

6．如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點P為線段BC₁上的動點，則點P到直線AC的距離的最小值為（　　）

7．兩條異面直線a,b所成的角為60°，在直線a,b上分別取點A，E和點B，F，使AB⊥a,且AB⊥b.已知AE=6，BF=8，EF=14，則線段AB的長為（　　）

21．如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，E，F分別是棱AA₁，BB₁上的點，
A
1
E
=
BF
=
1
3
A
A
1
．
（1）證明：平面CEF⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直線AC₁與平面CFC₁夾角余弦值．