2022-2023學年北京理工大學附中高三（下）開學數學試卷

一、選擇題（共10小題，每小題4分，滿分40分）

• 1．已知集合A={x∈Z|x²≤9}，B={x|x＞-2}，則A∩B=（　　）

  A．{0，1，2，3}

  B．{1，2，3}

  C．{-1，0，1，2，3}

  D．{x|-2＜x≤3}
  組卷：216引用：7難度：0.8

  解析

• 2．已知復數z=

  2

  i

  1

  -

  i

  （

  i

  為虛數單位），則在復平面上復數z對應的點位于（　　）

  A．第一象限

  B．第二象限

  C．第三象限

  D．第四象限
  組卷：102引用：1難度：0.7

  解析

• 3．在（x+a）⁵（其中a≠0）的展開式中，x²的系數與x³的系數相同，則a的值為（　　）

  A．-2

  B．-1

  C．1

  D．2
  組卷：141引用：5難度：0.7

  解析

• 4．已知圓x²+y²=4截直線y=kx+2所得弦的長度為

  2

  3

  ，則實數k=（　　）

  A． 2

  B． - 3

  C． ± 2

  D． ± 3
  組卷：502引用：7難度：0.7

  解析

• 5．已知函數f（x）=

  2 x - 1 ， 0 ＜ x ＜ 2

  6 - x , x ≥ 2

  ，那么不等式f（x）≥

  x

  的解集為（　　）

  A．（0，1]

  B．（0，2]

  C．[1，4]

  D．[1，6]
  組卷：357引用：5難度：0.7

  解析

• 6．在△ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，點P是AB的中點，則

  CB

  ?

  CP

  =（　　）

  A． 9 4

  B．4

  C． 9 2

  D．6
  組卷：1046引用：14難度：0.7

  解析

• 7．函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  cos

  （

  ωx

  +

  π

  6

  ）

  （ω＞0）的最小正周期為π，則f（x）滿足（　　）

  A．在 （ 0 ， π 3 ） 上單調遞增	B．圖象關于直線 x = π 6 對稱
  C． f （ π 3 ） = 3 2	D．當 x = 5 π 12 時有最小值-1
  組卷：1028引用：8難度：0.7

  解析

三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．

• 20．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  3

  =

  1

  （a＞0）的焦點在x軸上，且經過點E（1，

  3

  2

  ），左頂點為D，右焦點為F．
  （Ⅰ）求橢圓C的離心率和△DEF的面積；
  （Ⅱ）已知直線y=kx+1與橢圓C交于A，B兩點．過點B作直線y=t（t＞

  3

  ）的垂線，垂足為G．判斷是否存在常數t,使得直線AG經過y軸上的定點？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：693引用：7難度：0.6

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• 21．已知各項均為整數的數列A_N：a₁，a₂，…，a_N（N≥3，N∈N*）滿足a₁a_N＜0，且對任意i=2，3，…，N，都有|a_i-a_i-1|≤1．記S（A_N）=a₁+a₂+…+a_N．
  （Ⅰ）若a₁=3，寫出一個符合要求的A₆；
  （Ⅱ）證明：數列A_N中存在a_k使得a_k=0；
  （Ⅲ）若S（A_N）是N的整數倍，證明：數列A_N中存在a_r，使得S（A_N）=N?a_r．
  組卷：226引用：6難度：0.2

  解析