2023-2024學年上海市普陀區曹楊二中高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．若集合A={1，3，m}，B={3，5}，A∪B={1，2，3，5}，則實數m=

  ．
  組卷：26引用：2難度：0.8

  解析

• 2．若冪函數的圖像經過點

  （

  4

  3

  ，

  3

  ）

  ，則此冪函數的表達式為f（x）=

  ．
  組卷：37引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知復數

  z

  =

  （

  3

  +

  i

  ）

  （

  3

  -

  4

  i

  ）

  1

  -

  3

  i

  （其中i為虛數單位），則

  |

  z

  |

  =

  ．
  組卷：399引用：4難度：0.8

  解析

• 4．已知扇形圓心角α=60°，α所對的弧長l=6π，則該扇形面積為

  ．
  組卷：184引用：12難度：0.7

  解析

• 5．將向量

  OP

  =

  （

  1

  ，

  3

  ）

  繞坐標原點O順時針旋轉30°得到

  O

  P

  1

  ，則

  OP

  ?

  O

  P

  1

  =

  ．
  組卷：67引用：3難度：0.8

  解析

• 6．已知x＞1，則x+

  2

  x

  -

  1

  的最小值為

  ．
  組卷：34引用：8難度：0.7

  解析

• 7．在△ABC中，（a+c）（sinA-sinC）=b（sinA-sinB），則∠C=

  ．
  組卷：633引用：9難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）

• 20．已知雙曲線Γ：

  x

  2

  4

  -

  y

  2

  3

  =

  1

  的左、右焦點為F₁、F₂，直線l與雙曲線Γ交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
  （1）已知l過F₂且垂直于F₁F₂，求|AB|；
  （2）已知直線l的斜率為-1，且直線l不過點P（4，3），設直線PA、PB的斜率分別為k_PA、k_PB，求k_PA+k_PB的值；
  （3）當直線l過F₂時，直線AF₁交y軸于M，直線BF₁交y軸于N．是否存在直線l,使得

  S

  △

  F

  1

  AB

  =

  S

  △

  F

  1

  MN

  ，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．
  組卷：75引用：3難度：0.5

  解析

• 21．已知f（x）=x+alnx-1，其中a∈R．
  （1）若曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線與直線x+2y+3=0垂直，求a的值；
  （2）設

  g

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  +

  1

  x

  ，函數y=g（x）在x=x₀時取到最小值g（x₀），求a關于x₀的表達式，并求g（x₀）的最大值；
  （3）當a=-1時，設

  T

  （

  x

  ）

  =

  f

  （

  x

  ）

  +

  2

  x

  -

  x

  ，數列{a_n}（n∈N，n≥1）滿足a₁∈（0，1），且a_n+1=T（a_n），證明：a_n+1+a_n+3＞2a_n+2（n∈N，n≥1）．
  組卷：215引用：6難度：0.5

  解析