2023-2024學年北京中學九年級（上）期中數學試卷

一、選擇題。（共16分，每題2分）第1-8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個。

• 1．方程x（x-1）=0的解是（　　）

  A．x=1

  B．x1=0，x2=1

  C．x=0

  D．x1=0，x2=-1
  組卷：192引用：8難度：0.9

  解析

• 2．關于x的一元二次方程x²+ax+1=0有兩個實數根，則a的值可以是（　　）

  A．3

  B．-1

  C．1

  D．0
  組卷：36引用：1難度：0.8

  解析

• 3．將拋物線y=x²向右平移3個單位得到的拋物線表達式是（　　）

  A．y=（x-3）2

  B．y=（x+3）2

  C．y=x2-3

  D．y=x2+3
  組卷：274引用：11難度：0.9

  解析

• 4．用配方法解方程x²+4x=1，變形后結果正確的是（　　）

  A．（x-2）2=2

  B．（x+2）2=2

  C．（x-2）2=5

  D．（x+2）2=5
  組卷：156引用：19難度：0.6

  解析

• 5．關于二次函數y=-（x-2）²+3，以下說法正確的是（　　）

  A．當x＞-2時，y隨x增大而減小

  B．當x＞-2時，y隨x增大而增大

  C．當x＞2時，y隨x增大而減小

  D．當x＞2時，y隨x增大而增大
  組卷：713引用：8難度：0.8

  解析

• 6．已知m是方程x²-x-1=0的一個根，則代數式m²-m的值等于（　　）

  A．1

  B．0

  C．-1

  D．2
  組卷：1035引用：153難度：0.9

  解析

• 7．如圖是二次函數y=ax²+bx+c的圖象，圖象上有兩點分別為A（2.18，-0.51），B（2.68，0.54），則方程ax²+bx+c=0的一個解有可能是（　　）

  A．2.18

  B．2.68

  C．-0.51

  D．2.45
  組卷：238引用：3難度：0.7

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• 8．某同學將如圖所示的三條水平直線m₁，m₂，m₃的其中一條記為x軸（向右為正方向），三條豎直直線m₄，m₅，m₆的其中一條記為y軸（向上為正方向），并在此坐標平面內畫出了二次函數y=ax²-2ax+1（a＜0）的圖象，那么她所選擇的x軸和y軸分別為直線（　　）

  A．m1，m4

  B．m2，m5

  C．m3，m6

  D．m2，m4
  組卷：1037引用：13難度：0.7

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二、填空題。（每題2分，共16分）

• 9．拋物線y=-3（x-1）²+2的頂點坐標是

  ．
  組卷：678引用：22難度：0.6

  解析

三、解答題。（本題共68分，17題8分，18題4分，19題6分，第20-25題，每小題8分，第26題6分，第27-28題，每題7分）

• 27．如圖，正方形ABCD中，點E是邊BC上的一點，連接AE，將射線AE繞點A逆時針旋轉90°交CD的延長線于點F，連接EF，取EF中點G，連接DG．
  （1）依題意補全圖形；用等式表示∠ADG與∠CDG的數量關系，并證明；
  （2）若DG=

  2

  DF，用等式表示線段BC與BE的數量關系，并證明．
  組卷：1150引用：3難度：0.6

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• 28．定義：在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于點A，B．點P為平面內任意一點，若PA=PB，且∠APB≤120°時，稱點P為線段AB的“居中點”．特別地，當PA=PB，且∠APB=120°時，又稱點P為線段AB的“正居中點”．拋物線y=x²-2

  3

  x與x軸的正半軸交于點M．
  （1）若點C是線段OM的“正居中點”，且在第一象限，則點C的坐標為（

  ，

  ）；
  （2）若點D是線段OM的“居中點”，則點D的縱坐標d的取值范圍是

  ．
  （3）將射線OM繞點O順時針旋轉30°得到射線m,已知點E在射線m上，若在第四象限內存在點F，點F既是線段OM的“居中點”，又是線段OE的“正居中點”，求此時點E的坐標．
  
  組卷：174引用：2難度：0.3

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