2022-2023學年上海市奉賢區致遠高級中學高二（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．如圖所示，在正方體中，異面直線AB與CD所成的角為

  ．
  組卷：268引用：7難度：0.8

  解析

• 2．計算：

  +

  ∞

  ∑

  i

  =

  1

  （

  1

  3

  ）

  i

  -

  1

  =

  ．
  組卷：65引用：5難度：0.8

  解析

• 3．若經過圓柱的軸的截面面積為2，則圓柱的側面積為

   

  ．
  組卷：106引用：6難度：0.9

  解析

• 4．在三棱錐P-ABC中，點P在底面ABC內的射影為Q，若PA=PB=PC，則點Q定是△ABC的

  心．
  組卷：161引用：3難度：0.7

  解析

• 5．設x、y∈R，向量

  a

  =

  （

  x

  ,

  1

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，

  y

  ,

  1

  ）

  ，

  c

  =

  （

  2

  ，-

  4

  ，

  2

  ）

  ，且

  a

  ⊥

  c

  ，

  b

  ∥

  c

  ，則x+y的值為

  ．
  組卷：187引用：8難度：0.8

  解析

• 6．已知數列{a_n}的前n項和

  S

  n

  =

  n

  2

  -

  2

  n

  +

  1

  ，則a₅-a₁=

  ．
  組卷：67引用：3難度：0.7

  解析

• 7．正三棱臺ABC-A'B'C'上底面邊長2，下底面邊長為4，高為3，則該正三棱臺的斜高為

  ．
  組卷：69引用：2難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應寫出必要的步驟．

• 20．如圖1，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點，O為DE的中點，AB=AC=

  2

  5

  ，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使得平面A₁DE⊥平面BCED，如圖2．
  
  （1）求證：A₁O⊥BD；
  （2）求直線A₁C和平面A₁BD所成角的正弦值；
  （3）線段A₁C上是否存在點F，使得直線DF和BC所成角的余弦值為

  5

  3

  ？若存在，求出

  A

  1

  F

  A

  1

  C

  的值；若不存在，說明理由．
  組卷：123引用：4難度：0.5

  解析

• 21．已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ（n≥2，n∈N*），a₁=4．
  （1）證明：數列{

  a

  n

  2

  n

  }是等差數列；
  （2）若不等式2n²-n-3＜（5-λ）a_n對任意的n∈N*恒成立，求λ的取值范圍；
  （3）令b_n=

  a

  n

  2

  n

  ，是否存在k∈N*，使得

  b

  k

  b

  k

  +

  1

  +

  16

  為數列{b_n}中的項？若存在，求出所有滿足條件的k的值；若不存在，請說明理由．
  組卷：119引用：2難度：0.5

  解析