2023-2024學年上海市嘉定一中高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．已知集合A={1，3}，集合B=[1，2]，則A∩B=

  ．
  組卷：21引用：3難度：0.9

  解析

• 2．已知i為虛數單位，且（1+i）z=i³，則復數z的虛部為

  ．
  組卷：74引用：4難度：0.8

  解析

• 3．已知不等式4x²-12x+b＞0的解集為

  {

  x

  |

  x

  ≠

  3

  2

  ，

  x

  ∈

  R

  }

  ，則b值為

  ．
  組卷：42引用：2難度：0.7

  解析

• 4．已知平面上兩單位向量

  a

  ，

  b

  ，

  a

  ?

  b

  =-

  1

  2

  ，則

  a

  在

  b

  上的數量投影為

  ．
  組卷：43引用：2難度：0.8

  解析

• 5．若

  24

  C

  m

  n

  =

  A

  m

  n

  ，則m=

  ．
  組卷：74引用：2難度：0.8

  解析

• 6．在二項式

  （

  2

  +

  x

  ）

  13

  的展開式中，系數為無理數的項的個數是

  個．
  組卷：59引用：2難度：0.7

  解析

• 7．函數y=f（x），x∈R滿足f（x+2）=f（x），當0＜x≤2，f（x）=log₂（x+1），則f（-2023）=

  ．
  組卷：116引用：5難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟.

• 20．已知橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率為

  2

  2

  ，焦距為2，過E的左焦點F的直線l與E相交于A、B兩點，與直線x=-2相交于點M．
  （1）若M（-2，-1），求證：|MA|?|BF|=|MB|?|AF|；
  （2）過點F作直線l的垂線m與E相交于C、D兩點，與直線x=-2相交于點N．求

  1

  |

  MA

  |

  +

  1

  |

  MB

  |

  +

  1

  |

  NC

  |

  +

  1

  |

  ND

  |

  的最大值．
  組卷：346引用：8難度：0.5

  解析

• 21．已知函數

  f

  （

  x

  ）

  =

  1

  x

  -

  x

  +

  alnx

  ，a∈R．
  （Ⅰ）求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
  （Ⅱ）若f（x）在區間（3，+∞）上單調遞減，求a的取值范圍：
  （Ⅲ）若a＞0，f（x）存在兩個極值點x₁，x₂，證明：

  f

  （

  x

  1

  ）

  -

  f

  （

  x

  2

  ）

  x

  1

  -

  x

  2

  ＜

  a

  -

  2

  ．
  組卷：686引用：7難度：0.2

  解析