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2022-2023學年江西師大附中高二（下）月考數學試卷（3月份）

發布：2024/7/19 8:0:9

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的。

1．若數列的前4項分別是
1
2
，-
1
3
，
1
4
，-
1
5
，則此數列的一個通項公式為（　　）
A．
（
-
1
）
n
n
B．
（
-
1
）
n
-
1
n
C．
（
-
1
）
n
+
1
n
+
1
D．
（
-
1
）
n
n
+
1
組卷：204引用：8難度：0.9
解析
2．方程x²+4x+1=0的兩根的等差中項為（　　）
A．4 B．-4 C．2 D．-2
組卷：217引用：2難度：0.8
解析
3．等比數列{a_n}中，a₂a₄=16，a₁+a₅=17，則a₃=（　　）
A．-4 B．2 C．4 D．±4
組卷：291引用：3難度：0.7
解析
4．已知S_n是等差數列{a_n}的前n項和，若S₁₉=57，則3a₅-a₁-a₄=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
組卷：59引用：6難度：0.7
解析
5．已知正項等比數列{a_n}中，a₁=1，其前n項和為S_n（n∈N₊），且
1
a
1
-
1
a
2
=
2
a
3
，則S₅=（　　）
A．15 B．16 C．31 D．32
組卷：47引用：2難度：0.8
解析
6．從一個裝有1個白球和3個紅球的袋子中取出2個球，記X為取得紅球的個數，則其期望E（X）=（　　）
A．1 B．
3
2
C．2 D．3
組卷：129引用：2難度：0.7
解析
7．經統計，用于數學學習的時間（單位：小時）與成績（單位：分）近似于線性相關關系．對某小組學生每周用于數學的學習時間x與數學成績y進行數據收集如表：

x 15 16 18 19 22

y 102 98 115 115 120

由表中樣本數據求得回歸方程為y=bx+a,則點（a,b）與直線x+18y=110的位置關系是（　　）
A．點在直線左側 B．點在直線右側
C．點在直線上 D．無法確定
組卷：24引用：2難度：0.8
解析

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四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

21．規定抽球試驗規則如下：盒子中初始裝有白球和紅球各一個，每次有放回的任取一個，連續取兩次，將以上過程記為一輪．如果每一輪取到的兩個球都是白球，則記該輪為成功，否則記為失敗．在抽取過程中，如果某一輪成功，則停止；否則，在盒子中再放入一個紅球，然后接著進行下一輪抽球，如此不斷繼續下去，直至成功．
（1）某人進行該抽球試驗時，最多進行三輪，即使第三輪不成功，也停止抽球，記其進行抽球試驗的輪次數為隨機變量X，求X的分布列和數學期望；
（2）為驗證抽球試驗成功的概率不超過
1
2
，有1000名數學愛好者獨立的進行該抽球試驗，記t表示成功時抽球試驗的輪次數，y表示對應的人數，部分統計數據如下：

t 1 2 3 4 5

y 232 98 60 40 20

求y關于t的回歸方程
?
y
=
?
b
t
+
?
a
，并預測成功的總人數（精確到1）；
（3）證明：
1
2
2
+
（
1
-
1
2
2
）
1
3
2
+
（
1
-
1
2
2
）
（
1
-
1
3
2
）
1
4
2
+
?
+
（
1
-
1
2
2
）
（
1
-
1
3
2
）
?
（
1
-
1
n
2
）
1
（
n
+
1
）
2
＜
1
2
．
附：經驗回歸方程系數：
?
b
=
n
∑
i
=
1
x
i
y
i
-
n
x
?
y
n
∑
i
=
1
x
2
i
-
n
x
2
，
?
a
=
y
-
?
b
x

參考數據：
5
∑
i
=
1
x
2
i
=
1
.
46
，
x
=
0
.
46
，
x
2
=
0
.
212
（其中
x
i
=
1
t
i
，
x
=
1
5
5
∑
i
=
1
x
i
）．
組卷：510引用：7難度：0.4
解析
22．“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術活動，在我國源遠流長，某些折紙活動蘊含豐富的數學內容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：
步驟1：在紙上畫一個圓A，并在圓外取一定點B；
步驟2：把紙片折疊，使得點B折疊后與圓A上某一點重合；
步驟3：把紙片展開，并得到一條折痕；
步驟4：不斷重復步驟2和3，得到越來越多的折痕．
你會發現，當折痕足夠密時，這些折痕會呈現出一個雙曲線的輪廓．
若取一張足夠大的紙，畫一個半徑為2的圓A，并在圓外取一定點B，AB=4，按照上述方法折紙，點B折疊后與圓A上的點T重合，折痕與直線TA交于點P，P的軌跡為曲線C．
（1）以AB所在直線為x軸建立適當的坐標系，求C的方程；
（2）設AB的中點為O，若存在一個定圓O，使得當C的弦PQ與圓O相切時，C上存在異于P，Q的點M，N使得PM∥QN，且直線PM，QN均與圓O相切．
（i）求證：OP⊥OQ；
（ii）求四邊形PQNM面積的取值范圍．
組卷：58引用：4難度：0.3
解析