2023-2024學年北京三十五中高三（上）開學數學試卷

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．

• 1．已知集合A={x|x²-2＜0}，且a∈A，則a可以為（　　）

  A．-2

  B．-1

  C． 3 2

  D． 2
  組卷：721引用：7難度：0.9

  解析

• 2．下列函數中，在區間（0，+∞）上為增函數的是（　　）

  A．y=-|x|

  B．y=x2-2x

  C．y=sinx

  D． y = x - 1 x
  組卷：597引用：4難度：0.8

  解析

• 3．若a+2i=i（b+i）（a,b∈R），其中i是虛數單位，則a+b=（　　）

  A．-1

  B．1

  C．-3

  D．3
  組卷：390引用：4難度：0.9

  解析

• 4．在

  （

  x

  -

  2

  x

  ）

  5

  的展開式中，x的系數為（　　）

  A．40

  B．10

  C．-40

  D．-10
  組卷：708引用：4難度：0.7

  解析

• 5．函數f（x）是定義在R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=2^x，則f（log₂4）=（　　）

  A． 1 4

  B．4

  C． - 1 4

  D．-4
  組卷：85引用：1難度：0.8

  解析

• 6．已知函數f（x）=x³-x,則“x₁+x₂=0”是“f（x₁）+f（x₂）=0”的（　　）

  A．充分而不必要條件	B．必要而不充分條件
  C．充分必要條件	D．既不充分也不必要條件
  組卷：92引用：3難度：0.8

  解析

• 7．閱讀下段文字：“已知

  2

  為無理數，若

  （

  2

  ）

  2

  為有理數，則存在無理數

  a

  =

  b

  =

  2

  ，使得a^b為有理數；若

  （

  2

  ）

  2

  為無理數，則取無理數

  a

  =

  （

  2

  ）

  2

  ，

  b

  =

  2

  ，此時

  a

  b

  =

  （

  （

  2

  ）

  2

  ）

  2

  =

  （

  2

  ）

  2

  ?

  2

  =

  （

  2

  ）

  2

  =

  2

  為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（　　）

  A． （ 2 ） 2 是有理數

  B． （ 2 ） 2 是無理數

  C．存在無理數a,b,使得ab為有理數

  D．對任意無理數a,b,都有ab為無理數
  組卷：76引用：7難度：0.7

  解析

三、解答題共6小題，共85分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．

• 20．已知函數f（x）=alnx+xe^x-e,其中a∈R．
  （Ⅰ）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
  （Ⅱ）當a＞0時，判斷f（x）的零點個數，并加以證明；
  （Ⅲ）當a＜0時，證明：存在實數m,使f（x）≥m恒成立．
  組卷：1094引用：7難度：0.4

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• 21．首項為0的無窮數列{a_n}同時滿足下面兩個條件：
  ①|a_n+1-a_n|=n；②

  a

  n

  ≤

  n

  -

  1

  2

  ．
  （Ⅰ）請直接寫出a₄的所有可能值；
  （Ⅱ）記b_n=a_2n，若b_n＜b_n+1對任意n∈N^*成立，求{b_n}的通項公式；
  （Ⅲ）對于給定的正整數k,求a₁+a₂+…+a_k的最大值．
  組卷：228引用：8難度：0.8

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