2012年安徽師大附中自主招生數學試卷

一、填空題（本大題共8小題，每小題7分，共56分.把答案填在題中橫線上）

• 1．若x=

  2

  +1，則x³-（2+

  2

  ）x²+（1+2

  2

  ）x-

  2

  的值是

  ．
  組卷：185引用：2難度：0.7

  解析

• 2．有6個量杯A、B、C、D、E、F，它們的容積分別是16毫升、18毫升、22毫升、23毫升、24毫升和34毫升．有些量杯中注滿了酒精，有些量杯中注滿了蒸餾水，還剩下一個空量杯，而酒精的體是蒸餾水體積的兩倍．那么注滿蒸餾水的量杯是

  ．
  組卷：33引用：1難度：0.7

  解析

• 3．不等邊三角形ABC的兩條高的長度分別為4和12，若第三條高的長度也是整數，那么這條高的長度等于

  ．
  組卷：603引用：5難度：0.5

  解析

二、解答題（本大題共3小題，共44分，答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

• 10．兩個男孩曹俊和伍岳在3×3棋盤上用黑棋子和白棋子對局，規則如下：
  （Ⅰ）他們輪流下子；
  （Ⅱ）每輪到一次，就把一個棋子放在棋盤的空格里；
  （Ⅲ）棋手輪到時，可選擇一白子或一黑子，并且不必要總用同色；
  （IV）當棋盤填滿時，某一行、列或對角線有偶數個黑棋子，曹俊就得1分，而某一行、列或對角線有奇數個黑棋子，伍岳就得1分；
  （V）棋手至少得到8分中的5分，就算得勝．
  （1）4：4和局是否可能？若可能，請列出一種表格的情況；若不可能，請說明理由；
  （2）敘述先下手的男孩的取勝策略．
  組卷：66引用：1難度：0.2

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• 11．已知直線y=

  1

  2

  x和y=-x+m,二次函數y=x²+px+q的圖象的頂點為M．
  （1）若M恰好在直線y=

  1

  2

  x與y=-x+m的交點處，試證明：無論m取何實數值，二次函數y=x²+px+q的圖象與直線y=-x+m總有兩個不同的交點．
  （2）在（1）的條件下，若直線y=-x+m過點D（0，-3），求二次函數y=x²+px+q的表達式，并作出其大致圖象．
  （3）在（2）的條件下，若二次函數y=x²+px+q的圖象與y軸交于點C，與x軸的左交點為A，試在直線y=

  1

  2

  x上求異于M的點P，使點P在△CMA的外接圓上．
  組卷：133引用：3難度：0.3

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