2022-2023學年上海市閔行區七寶中學高二（上）開學數學試卷

一、填空題(第1-6題每題4分，第7-12題每題5分，滿分54分)

• 1．已知向量

  a

  =

  （

  3

  ，

  5

  ，

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  2

  ，

  2

  ，

  3

  ）

  ，

  c

  =

  （

  4

  ，-

  1

  ，-

  3

  ）

  ，則向量

  2

  a

  -

  3

  b

  +

  4

  c

  的坐標為

  ．
  組卷：169引用：4難度：0.7

  解析

• 2．一個正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則該正四棱柱的體積為

  ．
  組卷：108引用：4難度：0.9

  解析

• 3．

  a

  =（1，-1，3），

  b

  =（-1，4，-2），

  c

  =（1，5，x），若

  a

  ，

  b

  ，

  c

  三向量共面，則實數x=

  ．
  組卷：234引用：8難度：0.8

  解析

• 4．平面α外有兩點A、B，若A、B到平面α的距離相等，則直線AB與平面α的關系是

  ．
  組卷：50引用：4難度：0.7

  解析

• 5．一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的表面積與球的表面積之比為

  ．
  組卷：109引用：3難度：0.8

  解析

• 6．如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是邊長為1的正方形，且∠A₁AD=∠A₁AB=60°，AA₁=2，則線段AC₁的長為

  ．
  組卷：96引用：7難度：0.6

  解析

• 7．已知四面體ABCD中，E、F、G分別為BC、AD、BD的中點，且異面直線AB與CD所成的角為

  π

  3

  ，則∠FGE=

  ．
  組卷：37引用：4難度：0.8

  解析

三、解答題（本大題共有5題。滿分76分）

• 20．如圖1，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，點M，N分別是邊BC，CD的中點，AC∩BD=O₁，AC∩MN=G，沿MN將△CMN翻折到△PMN的位置，連接PA，PB，PD，得到如圖2所示的五棱錐P-ABMND．
  （1）在翻折過程中是否總有平面PBD⊥平面PAG？證明你的結論；
  （2）當四棱錐P-MNDB體積最大時，求直線PB和半面MNDB所成角的正弦值；
  （3）在（2）的條件下，在線段PA上是否存在一點Q，使得二面角Q-MN-P余弦值的絕對值為

  10

  10

  ？指存在，試確定點Q的位置；若不存在，請說明理由．
  
  組卷：120引用：5難度：0.6

  解析

• 21．已知四棱錐T-ABCD的底面是平行四邊形，平面α與直線AD，TA，TC分別交于點P，Q，R且

  AP

  AD

  =

  TQ

  TA

  =

  CR

  CT

  =x,點M在直線TB上，N為CD的中點，且直線MN∥平面α．
  （Ⅰ）設

  TA

  =

  a

  ，

  TB

  =

  b

  ，

  TC

  =

  c

  ，試用基底{

  a

  ，

  b

  ，

  c

  }表示向量

  TD

  ；
  （Ⅱ）證明：四面體TABC中至少存在一個頂點，從其出發的三條棱能夠組成一個三角形；
  （Ⅲ）證明：對所有滿足條件的平面α，點M都落在某一條長為

  5

  2

  TB的線段上．
  組卷：177引用：4難度：0.5

  解析