2022-2023學年河南省開封市杞縣高中高一（下）第三次月考數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．

• 1．已知復數

  z

  =

  2

  +

  3

  i

  i

  2023

  ，i為虛數單位，則復數z的共軛復數為（　　）

  A．-3+2i

  B．3-2i

  C．-3-2i

  D．3+2i
  組卷：16引用：1難度：0.8

  解析

• 2．圓錐的底面直徑和母線長都等于球的直徑，則圓錐與球的表面積之比是（　　）

  A． 3 4

  B． 1 2

  C． 3 4

  D． 3 3 4
  組卷：565引用：7難度：0.7

  解析

• 3．如圖，一個水平放置的平面圖形的直觀圖（斜二測畫法）是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是（　　）

  A． 2 + 2

  B． 1 + 2

  C． 4 + 2 2

  D． 8 + 4 2
  組卷：217引用：7難度：0.9

  解析

• 4．下列命題中正確的是（　　）

  A．若 a 、 b 都是單位向量，則 a = b

  B．若 AB = DC ，則A、B、C、D四點構成平行四邊形

  C．若 a ∥ b ，且 b ∥ c ，則 a ∥ c

  D． AB 與 BA 是兩平行向量
  組卷：876引用：2難度：0.7

  解析

• 5．為了更好地支持“中小型企業”的發展，某市決定對部分企業的稅收進行適當的減免，某機構調查了當地的中小型企業年收入情況，并根據所得數據畫出了樣本的頻率分布直方圖，下面三個結論：
  
  ①樣本數據落在區間[300，500）的頻率為0.45；
  ②如果規定年收入在500萬元以內的企業才能享受減免稅政策，估計有55%的當地中小型企業能享受到減免稅政策；
  ③樣本的中位數為480萬元．
  其中正確結論的個數為（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：354引用：20難度：0.8

  解析

• 6．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都相等，D是A₁C₁的中點，則直線AD與平面B₁DC所成角的正弦值為（　　）

  A． 3 5

  B． 4 5

  C． 3 4

  D． 5 5
  組卷：192引用：17難度：0.7

  解析

• 7．設向量

  a

  =（x,1），

  b

  =（1，-

  3

  ），且

  a

  ⊥

  b

  ，則向量

  a

  -

  3

  b

  與

  b

  的夾角為（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 5 π 6

  D． 2 π 3
  組卷：171引用：12難度：0.7

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四、解答題：本題共6題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

• 21．某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．
  （1）若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？
  （2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（即確定航行方向與航行速度的大小），使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．
  組卷：519引用：28難度：0.1

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• 22．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC，E為AB的中點，沿DE將△ADE折起，使得點A到點P位置，且PE⊥EB，M為PB的中點，N是BC上的動點（與點B，C不重合）．
  （Ⅰ）求證：平面EMN⊥平面PBC；
  （Ⅱ）是否存在點N，使得二面角B-EN-M的余弦值

  6

  6

  ？若存在，確定N點位置；若不存在，說明理由．
  組卷：945引用：22難度：0.7

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