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2023-2024學年黑龍江省牡丹江第二高級中學高三（上）期中數學試卷

發布：2024/10/6 18:0:2

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．

1．已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x-4）＜0}，
B
=
{
x
|
y
=
1
-
lnx
}
，則A∩B=（　　）
A．（0，e] B．{0，e} C．{1，2} D．（1，2）
組卷：100引用：2難度：0.8
解析
2．若復數z₁，z₂在復平面內對應的點關于y軸對稱，且z₁=1+i,則復數
z
2
z
1
=（　　）
A．1 B．-1 C．i D．-i
組卷：124引用：3難度：0.7
解析
3．已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=2|
b
|，且（
a
-
b
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角為（　　）
A．
π
6
B．
π
3
C．
2
π
3
D．
5
π
6
組卷：14819引用：124難度：0.5
解析
4．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∠BAD=60°，E為BC的中點（　　）
A．
AE
=
3
2
AB
+
1
2
AD
B．
AE
=
3
4
AB
+
1
2
AD
C．
AE
=
1
4
AB
+
1
2
AD
D．
AE
=
3
4
AB
+
1
4
AD
組卷：271引用：3難度：0.7
解析
5．將函數
f
（
x
）
=
si
n
2
（
5
π
12
-
x
）
-
si
n
2
（
π
12
+
x
）
的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足
g
（
π
6
-
x
）
=
g
（
π
6
+
x
）
，則φ的最小值為（　　）
A．
π
4
B．
π
2
C．
2
π
3
D．
3
π
4
組卷：387引用：5難度：0.5
解析
6．等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q,前n項和為S_n，則“a₁＞0”是“{S_n}是遞增數列”的（　　）
A．充分而非必要條件 B．必要而非充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
組卷：124引用：6難度：0.6
解析
7．已知
sinαsin
（
π
3
-
α
）
=
3
cosαsin
（
α
+
π
6
）
，則
sin
（
2
α
+
π
6
）
=（　　）
A．-1 B．
-
3
2
C．
1
2
D．
3
2
組卷：356引用：3難度：0.5
解析

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四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

21．數列{a_n}滿足
a
n
+
1
=
a
n
，
a
1
=
1
2
，
n
∈
N
*
．
（Ⅰ）證明：
0
＜
a
2
n
+
1
-
a
2
n
≤
1
4
；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足
b
n
=
a
n
+
1
a
n
-
a
n
a
n
+
1
，設數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：
S
n
＜
3
4
．
組卷：138引用：2難度：0.3
解析
22．已知函數f（x）=2x²e^x，g（x）=ax+2alnx（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數h（x）=f（x）-g（x）有2個零點，求實數a的取值范圍．
組卷：176引用：8難度：0.3
解析

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A． AE = 3 2 AB + 1 2 AD	B． AE = 3 4 AB + 1 2 AD
C． AE = 1 4 AB + 1 2 AD	D． AE = 3 4 AB + 1 4 AD

A．充分而非必要條件	B．必要而非充分條件
C．充要條件	D．既不充分也不必要條件

2023-2024學年黑龍江省牡丹江第二高級中學高三（上）期中數學試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．

1．已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x-4）＜0}，B={x|y=1-lnx}，則A∩B=（ ）

2．若復數z1，z2在復平面內對應的點關于y軸對稱，且z1=1+i,則復數z2z1=（ ）

3．已知非零向量a，b滿足|a|=2|b|，且（a-b）⊥b，則a與b的夾角為（ ）

4．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∠BAD=60°，E為BC的中點（ ）

5．將函數f（x）=sin2（5π12-x）-sin2（π12+x）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足g（π6-x）=g（π6+x），則φ的最小值為（ ）

6．等比數列{an}的首項為a1，公比為q,前n項和為Sn，則“a1＞0”是“{Sn}是遞增數列”的（ ）

7．已知sinαsin（π3-α）=3cosαsin（α+π6），則sin（2α+π6）=（ ）

四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．

21．數列{an}滿足an+1=an，a1=12，n∈N*．（Ⅰ）證明：0＜a2n+1-a2n≤14；（Ⅱ）若數列{bn}滿足bn=an+1an-anan+1，設數列{bn}的前n項和為Sn，證明：Sn＜34．

22．已知函數f（x）=2x2ex，g（x）=ax+2alnx（a∈R）．（1）求函數f（x）的單調區間和極值；（2）若函數h（x）=f（x）-g（x）有2個零點，求實數a的取值范圍．

1．已知集合A={x∈Z|（2x+3）（x-4）＜0}，
B
=
{
x
|
y
=
1
-
lnx
}
，則A∩B=（　　）

2．若復數z₁，z₂在復平面內對應的點關于y軸對稱，且z₁=1+i,則復數
z
2
z
1
=（　　）

3．已知非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=2|
b
|，且（
a
-
b
）⊥
b
，則
a
與
b
的夾角為（　　）

4．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=2DC，∠BAD=60°，E為BC的中點（　　）

5．將函數
f
（
x
）
=
si
n
2
（
5
π
12
-
x
）
-
si
n
2
（
π
12
+
x
）
的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度后，得到函數g（x）的圖象，若g（x）滿足
g
（
π
6
-
x
）
=
g
（
π
6
+
x
）
，則φ的最小值為（　　）

6．等比數列{a_n}的首項為a₁，公比為q,前n項和為S_n，則“a₁＞0”是“{S_n}是遞增數列”的（　　）

7．已知
sinαsin
（
π
3
-
α
）
=
3
cosαsin
（
α
+
π
6
）
，則
sin
（
2
α
+
π
6
）
=（　　）

21．數列{a_n}滿足
a
n
+
1
=
a
n
，
a
1
=
1
2
，
n
∈
N
*
．
（Ⅰ）證明：
0
＜
a
2
n
+
1
-
a
2
n
≤
1
4
；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足
b
n
=
a
n
+
1
a
n
-
a
n
a
n
+
1
，設數列{b_n}的前n項和為S_n，證明：
S
n
＜
3
4
．

22．已知函數f（x）=2x²e^x，g（x）=ax+2alnx（a∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若函數h（x）=f（x）-g（x）有2個零點，求實數a的取值范圍．