2023-2024學(xué)年江蘇省常州市金壇區(qū)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題。本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

• 1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線

  3

  x+y-1=0的傾斜角為（　　）

  A． π 6

  B． π 3

  C． 2 π 3

  D． 5 π 6
  組卷：50引用：3難度：0.9

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• 2．若方程mx²+（1-m）y²=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　　）

  A．m＜0

  B．m＞1

  C．0＜m＜1

  D．m＜1且m≠0
  組卷：65引用：2難度：0.7

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• 3．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線的口徑（直徑）為3.6m,深度為0.6m,則該拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（　　）

  A．1.35m

  B．2.05m

  C．2.7m

  D．5.4m
  組卷：239引用：16難度：0.8

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• 4．已知A（2，0），B（2，3），直線l過(guò)定點(diǎn)P（1，2），且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（　　）

  A．-2≤k≤1

  B． - 1 2 ≤ k ≤ 1

  C．k≠1

  D．k≤-2或k≥1
  組卷：258引用：7難度：0.7

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• 5．17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在《平面與立體軌跡引論》中證明，方程a²-x²=ky²（k＞0，k≠1，a≠0）表示橢圓，費(fèi)馬所依據(jù)的是橢圓的重要性質(zhì)：若從橢圓上任意一點(diǎn)P向長(zhǎng)軸AB（異于A，B兩點(diǎn)）引垂線，垂足為Q，則

  P

  Q

  2

  AQ

  ?

  BQ

  為常數(shù)．據(jù)此推斷，此常數(shù)的值為（　　）

  A．橢圓的離心率

  B．橢圓離心率的平方

  C．短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比

  D．短軸長(zhǎng)與長(zhǎng)軸長(zhǎng)比的平方
  組卷：215引用：10難度：0.7

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• 6．已知橢圓C：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =1（a＞b＞0）上有點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為B，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，∠ABF=

  π

  12

  ，則橢圓的離心率為（　　）

  A． 1 2

  B． 6 3

  C． 3 3

  D． 2 2
  組卷：218引用：6難度：0.6

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• 7．若方程

  x

  +

  b

  =

  3

  -

  4

  x

  -

  x

  2

  有兩個(gè)不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為（　　）

  A． （ 1 - 2 2 ， 1 + 2 2 ）	B． （ 1 - 2 2 ，- 1 ]
  C． [ - 1 ， 1 + 2 2 ）	D． （ 1 - 2 2 ， 3 ]
  組卷：200引用：6難度：0.6

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四、解答題。本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

• 21．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-2x是雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一條漸近線，點(diǎn)

  A

  （

  2

  ，

  2

  ）

  在雙曲線C上，設(shè)M（m,n）（n≠0）為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM與y軸相交于點(diǎn)P，點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，直線AN與y軸相交于點(diǎn)Q．
  （1）求雙曲線C的方程；
  （2）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使得

  |

  TP

  +

  TQ

  |

  =

  |

  PQ

  |

  ，若存在，求T點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；
  （3）求M點(diǎn)的坐標(biāo)，使得△MPQ的面積最小．
  組卷：45引用：2難度：0.5

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• 22．如圖，已知點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  3

  =1的左右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且

  F

  1

  A

  =λ

  F

  2

  B

  （λ＞0），連接AF₂，BF₁且AF₂，BF₁交于點(diǎn)Q．
  （1）當(dāng)λ=2時(shí)，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)；
  （2）若△ABQ的面積為

  1

  2

  ，試比較λ+

  1

  λ

  與2的大小，說(shuō)明理由．
  組卷：30引用：2難度：0.5

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