2023-2024學年上海市徐匯區南洋模范中學高一（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．不等式

  3

  x

  +

  4

  x

  -

  2

  ≥4的解集是

  ．
  組卷：460引用：10難度：0.6

  解析

• 2．設x∈R，則“3-x≥0”是“|x-1|≤2”的

  條件．（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要條件”填空）
  組卷：41引用：2難度：0.9

  解析

• 3．化簡

  （

  a

  2

  3

  b

  1

  4

  ）

  2

  a

  -

  1

  2

  b

  1

  3

  6

  a

  b

  5

  （其中a＞0，b＞0）=

  ．
  組卷：101引用：3難度：0.8

  解析

• 4．已知α、β是關于x的方程x²-2mx+m²-4=0（m∈R）的兩個根，則|α-β|=

  ．
  組卷：375引用：3難度：0.8

  解析

• 5．含有三個實數的集合可表示為

  {

  a

  ,

  b

  a

  ，

  1

  }

  ，也可以示為{a²，a+b,0}，則a²⁰²³+b²⁰²⁴的值為

  ．
  組卷：37引用：2難度：0.8

  解析

• 6．已知函數f（x）=（m²-5m+7）x^m（x≠0）是冪函數，其圖像分布在第一、三象限，則m=

  ．
  組卷：246引用：5難度：0.7

  解析

• 7．如果用反證法證明命題“設a,b∈R，則方程x²+ax+a-1=0至少有一個實根”，那么首先假設方程x²+ax+a-1=0
  組卷：45引用：2難度：0.9

  解析

三、解答題

• 20．已知t=ax²-（a+2）x+2．
  （1）若t＜3-2x對任意x∈R恒成立，求實數a的取值范圍；
  （2）對任意a∈[-1，1]，都有t＞0成立，求x的取值范圍；
  （3）若存在m＞0使關于x的方程

  a

  x

  2

  -

  （

  a

  +

  2

  ）

  |

  x

  |

  +

  2

  =

  m

  +

  1

  m

  +

  1

  有四個不同的實根，求實數a的取值范圍．
  組卷：30引用：1難度：0.4

  解析

• 21．記

  k

  ∑

  t

  =

  1

  a

  t

  =a₁+a₂+?+a_k，

  k

  ∏

  t

  =

  1

  a_t=a₁×a₂×?×a_k，存在正整數n,且n≥2．若集合A={a₁，a₂，?，a_n}滿足

  n

  ∑

  t

  =

  1

  a_t=

  t

  =

  1

  k

  π

  a_t，則稱集合A為“諧調集”．
  （1）分別判斷集合E={1，2}、集合F={-1，0，1}是否為“諧調集”；
  （2）已知實數x、y,若集合{x,y}為“諧調集”，是否存在實數z滿足z²=xy,并且使得{x,y,z}為“諧調集”？若存在，求出所有滿足條件的實數z,若不存在，請說明理由；
  （3）若有限集M為“諧調集”，且集合M中的所有元素均為正整數，試求出所有的集合M．
  組卷：61引用：7難度：0.5

  解析