2010年新課標九年級數學競賽培訓第26講：開放性問題

一、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）

• 1．如圖，L是四邊形ABCD的對稱軸，若AD∥BC，有下列結論：
  ①AB∥CD，②AB=BC，③AB⊥BC，④AO=CO，
  其中正確的是

   

  ．
  組卷：139引用：4難度：0.5

  解析

• 2．如圖，由一個邊長為a的小正方形與兩個長、寬分別為a、b的小矩形拼接成矩形ABCD，則整個圖形可表達出一些有關多項式分解因式的等式，請你寫出其中任意三個等式：

   

  ．
  組卷：940引用：7難度：0.9

  解析

• 3．有一個二次函數的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點．
  甲：對稱軸是直線x=4；
  乙：與x軸兩交點的橫坐標都是整數；
  丙：與y軸交點的縱坐標也是整數，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3；
  請寫出滿足上述全部特點的二次函數解析式：

  ．
  組卷：425引用：23難度：0.7

  解析

• 4．給定四個命題：①sin15°與sin75°的平方和為1；②函數y=x²-8x+6的最小值為-10；③

  a

  4

  -

  1

  a

  =

  4

  -

  a

  3

  ；④

  x

  -

  10

  5

  -

  x

  =

  10

  -

  x

  5

  -

  x

  ，則x=10”，其中錯誤的命題的個數是

   

  ．
  組卷：61引用：2難度：0.9

  解析

二、選擇題（共1小題，每小題4分，滿分4分）

• 5．①在實數范圍內，一元二次方程ax²+bx+c=0的根為

  x

  =

  -

  b

  ±

  b

  2

  -

  4

  ac

  2

  a

  ；
  ②在△ABC中，若AC²+BC²＞AB²，則△ABC是銳角三角形；
  ③在△ABC和△AB₁C₁中，a、b、c分別為△ABC的三邊，a₁、b₁、c₁分別為△AB₁C₁的三邊，若a＞a₁，b＞b₁，c＞c₁，則△ABC的面積大S于△AB₁C₁的面積S₁．
  以上三個命題中，真命題的個數是（　　）

  A．0

  B．1

  C．2

  D．3
  組卷：48引用：2難度：0.9

  解析

三、解答題（共13小題，滿分126分）

• 6．如圖，⊙O與⊙O₁外切于點T，PT是其內公切線，AB為其外公切線，且A、B為切點，AB與TP相交于點P，根據圖中所給出的已知條件及線段，請寫出一個正確結論，并加以證明．
  組卷：62引用：3難度：0.5

  解析

三、解答題（共13小題，滿分126分）

• 17．（1）證明：若x取任意整數時，二次函數y=ax²+bx+c總取整數值，那么2a、a-b、c都是整數．
  （2）寫出上述命題的逆命題，且證明你的結論．
  組卷：95引用：3難度：0.5

  解析

• 18．已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數，且它們的和為16．
  （1）這樣的四邊形有幾個？
  （2）求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值．
  組卷：226引用：2難度：0.1

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