2022-2023學年上海市楊浦區復旦大學附中高二（下）期中數學試卷

一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．事件A與事件B是獨立的，且P（A）=

  1

  2

  ，

  P

  （

  B

  ）

  =

  1

  3

  ，則P（A∩B）=

  ．
  組卷：137引用：2難度：0.8

  解析

• 2．在100個人中，其中45人為女性，55人為男性，計劃抽取20人測量身高．若按性別進行分層隨機抽樣，則應該抽取

  位男性測量身高．
  組卷：44引用：1難度：0.8

  解析

• 3．已知隨機變量X服從正態分布N（1，σ²），若P（X＞a）=P（X＜a），則a=

  ．
  組卷：116引用：3難度：0.7

  解析

• 4．（1-3x）⁷的展開式中，x²項的系數為

  ．
  組卷：29引用：1難度：0.7

  解析

• 5．已知一組數據a₁，a₂，…，a_n的平均數為6，那么2a₁+5，2a₂+5，…，2a_n+5的平均數為

  ．
  組卷：118引用：1難度：0.8

  解析

• 6．若曲線y=f（x）=2sinx+384在點

  （

  π

  3

  ，

  f

  （

  π

  3

  ）

  ）

  處的切線與直線y=ax+383垂直，則實數a=

  ．
  組卷：61引用：1難度：0.8

  解析

• 7．從所有三位數中隨機取一個，并假設取到每個三位數的可能性是相同的，則取到的是無重復數字的三位數的概率是

  ．
  組卷：39引用：1難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5題，共78分）

• 20．現有一枚均勻的硬幣（即只可能出現正面與反面兩種結果，拋出正面與反面的概率均為0.5，每一次拋擲是獨立的），正面記為H，反面記為T，并不斷拋擲該硬幣．
  （1）求拋擲3次時，至少出現1次正面的概率
  （2）用X表示拋擲10次后出現正面的次數，求X的期望和方差．
  （3）甲同學選擇了組合“HHT”，（即連續地依次出現正面，正面，反面），乙同學選擇了組合HTT．若選擇的組合先出現，則獲得游戲勝利．問：甲乙兩人中，甲更有優勢還是乙更有優勢還是雙方都沒有優勢？并求甲同學獲勝的概率．
  組卷：67引用：1難度：0.6

  解析

• 21．已知f（x）=sin（βx）?lnx.
  （1）若

  β

  =

  π

  2

  ，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
  （2）若

  β

  =

  π

  2

  ，設g（x）=f（x）-lnx,判斷x=1是否是函數y=g（x）的極值點并說明理由．
  （3）設β＞0，點P_n在函數y=f（x）的圖像上，且P_n的橫坐標

  x

  n

  =

  （

  2

  n

  -

  1

  ）

  π

  2

  β

  ，

  n

  ∈

  N

  *

  ．
  曲線Γ是由所有的線段P_nP_n+1構成的折線圖，求證：對于任意的k＞0，直線y=kx與Γ的交點不可能有無窮多個．
  組卷：47引用：1難度：0.2

  解析