2023-2024學年上海市普陀區宜川中學高三（上）期中數學試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．計算：

  lim

  n

  →∞

  （

  n

  ∑

  i

  =

  1

  1

  3

  n

  ）

  =

  ．
  組卷：21引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知集合A={y|y=4-x²，x∈R}，

  B

  =

  {

  x

  |

  y

  =

  x

  +

  1

  ，

  x

  ∈

  R

  }

  ，則A∩B=

  ．
  組卷：71引用：5難度：0.7

  解析

• 3．二項式（x-1）⁷的展開式中，系數最大的項為

  ．
  組卷：60引用：2難度：0.8

  解析

• 4．函數f（x）=x²e^x，則f′（1）=

   

  ．
  組卷：133引用：3難度：0.7

  解析

• 5．已知復數z滿足|z+4-3i|=2（i為虛數單位）．則|z|的最大值為

   

  ．
  組卷：57引用：4難度：0.7

  解析

• 6．設x,y均為正實數，且2x+5y=20，則lgx+lgy的最大值為

  ．
  組卷：78引用：3難度：0.7

  解析

• 7．已知直線l：y=2x-10與雙曲線

  x

  2

  a

  2

  -

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  0

  ，

  b

  ＞

  0

  ）

  的一條漸近線平行，且經過雙曲線的一個焦點，則雙曲線的標準方程為

  ．
  組卷：174引用：3難度：0.6

  解析

三、解答題（共5道大題，其中17題14分，18題14分，19題14分，20題16分，21題18分，共計76分）

• 20．已知橢圓Γ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  ，F₁，F₂為左右焦點，直線l過左焦點F₁與橢圓交于A，B兩點，其中A在第一象限，記

  c

  =

  a

  2

  -

  b

  2

  ，A（x₀，y₀），B（x₁，y₁）．
  （1）若橢圓Γ的離心率為

  1

  2

  ，三角形F₁F₂A的周長為6，求橢圓Γ的方程；
  （2）求證：

  （

  a

  2

  +

  c

  2

  ）

  （

  x

  0

  +

  x

  1

  ）

  +

  2

  c

  x

  0

  x

  1

  +

  2

  a

  2

  c

  =

  0

  ；
  （3）直線AF₂與橢圓交于另一點C（x₂，y₂），若b=c=1，求y₁-y₂的最大值．?
  組卷：70引用：1難度：0.3

  解析

• 21．已知集合M是滿足下列性質的函數f（x）的全體：在定義域內存在實數t,使得f（t+2）=f（t）+f（2）．
  （1）判斷f（x）=3x+2是否屬于集合M，并說明理由；
  （2）若

  f

  （

  x

  ）

  =

  lg

  a

  x

  2

  +

  2

  屬于集合M，求實數a的取值范圍；
  （3）若f（x）=2^x+bx²，求證：對任意實數b,都有f（x）∈M．
  組卷：245引用：5難度：0.3

  解析