2013-2014學年湖南省益陽市南縣一中高三（上）同步練習數學試卷（理科）（普通班）

一、解答題（共12小題，滿分48分）

• 1．設數列{a_n} 的前n項和為S_n，滿足2S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數列．
  （1）求a₁，a₂，a₃的值；
  （2）求證：數列{a_n+2ⁿ}是等比數列
  （3）證明：對一切正整數n,有

  1

  a

  1

  +

  1

  a

  2

  +…+

  1

  a

  n

  ＜

  3

  2

  ．
  組卷：306引用：5難度：0.1

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• 2．已知數列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對任意m,n∈N*都有a_2m+1+a_2n-1=2_m+n-1+2（m-n）²
  （1）設b_n=a_2n+1-a_2n-1（n∈N*）證明：{b_n}是等差數列；
  （2）設c_n=（a_2n+1-a_2n-1）q^n-1（q≠0，n∈N*），求數列{c_n}的前n項和S_n．
  組卷：32引用：1難度：0.9

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• 3．在數列{a_n}中，a₁=1，且對任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比數列，其公比為q_k．
  （1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
  （2）若對任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差數列，其公差為d_k，設b_k=

  1

  q

  k

  -

  1

  ．
  ①求證：{b_k}成等差數列，并指出其公差；
  ②若d₁=2，試求數列{d_k}的前k項的和D_k．
  組卷：224引用：12難度：0.5

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• 4．已知數列{a_n}的首項a₁=a,S_n是數列{a_n}的前n項和，且滿足：S_n²=3n²a_n+S_n-1²，a_n≠0，n≥2，n∈N^*．
  （1）若數列{a_n}是等差數列，求a的值；
  （2）確定a的取值集合M，使a∈M時，數列{a_n}是遞增數列．
  組卷：281引用：15難度：0.3

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一、解答題（共12小題，滿分48分）

• 11．已知等差數列{a_n}的首項為a,公差是b；等比數列{b_n}的首項是b,公比是a,其中a、b都是正整數，且a₁＜b₁＜a₂＜b₂＜a₃．
  （1）求a的值．
  （2）若對于{a_n}、{b_n}，存在關系式a_m+2=b_n，試求數列{a_n}前n（n≥2）項中所有不同兩項的乘積之和．
  組卷：14引用：2難度：0.5

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• 12．設a是一個自然數，f（a）是a的各位數字的平方和，定義數列{a_n}：a₁是自然數，a_n=f（a_n-1）（n∈N^*，n≥2）．
  （Ⅰ）求f（99），f（2014）；
  （Ⅱ）若a₁≥100，求證：a₁＞a₂；
  （Ⅲ）當a₁＜1000時，求證：存在m∈N^*，使得a_3m=a_2m．
  組卷：118引用：2難度：0.1

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