2023-2024學(xué)年上海交大附中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7-12題每題5分）

• 1．已知

  α

  ∈

  （

  0

  ，

  π

  2

  ）

  ，

  tanα

  =

  2

  4

  ，則sin2α的值為

  ．
  組卷：46引用：3難度：0.7

  解析

• 2．已知向量

  a

  ，

  b

  滿足

  |

  a

  |

  =

  1

  ，

  |

  b

  |

  =

  2

  ，

  |

  a

  +

  2

  b

  |

  =

  5

  ．則

  a

  ?

  b

  =

  ．
  組卷：3引用：2難度：0.8

  解析

• 3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=5，則|z-i|=

  ．
  組卷：139引用：2難度：0.8

  解析

• 4．方程x²+y²-2x+4y+m=0表示一個圓，則m的取值范圍是

  ．
  組卷：306引用：4難度：0.7

  解析

• 5．已知

  a

  =

  （

  3

  ，-

  1

  ）

  ，

  b

  =

  （

  1

  ，-

  2

  ）

  ，則向量

  b

  在

  a

  方向上的數(shù)量投影為

  ．
  組卷：24引用：1難度：0.8

  解析

• 6．已知{a_n}為等差數(shù)列，a_n+1-a_n＞0，a₄=6，且a₂、a₃、a₅成等比數(shù)列，則a_n=

  ．
  組卷：53引用：1難度：0.8

  解析

• 7．直線y=kx+1（k∈R）與橢圓

  x

  2

  5

  +

  y

  2

  m

  =

  1

  恒有兩個公共點，則m的取值范圍為

   

  ．
  組卷：183引用：5難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）

• 20．橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的離心率是

  2

  2

  ，點

  M

  （

  2

  ，

  1

  ）

  是橢圓E上一點，過點P（0，1）的動直線l與橢圓相交于A，B兩點．
  （1）求橢圓E的方程；
  （2）當(dāng)直線l的斜率為1時，求△AOB的面積；
  （3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，是否存在與點P不同的定點Q，使

  |

  QA

  |

  |

  QB

  |

  =

  |

  PA

  |

  |

  PB

  |

  恒成立？存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
  組卷：159引用：3難度：0.3

  解析

• 21．設(shè)數(shù)集S滿足：①任意x∈S，有x≥0；②對任意x,y∈S（x,y可以取相同值），有x+y∈S或|x-y|∈S，則稱數(shù)集S具有性質(zhì)P．
  （1）判斷數(shù)集A={0，1，3，6}和B={0，3，6}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；
  （2）若數(shù)集B={a₁，a₂，…，a_n}且a_i＜a_i+1（i=1，2，…，n-1）具有性質(zhì)P．
  （i）當(dāng)n=4時，判斷a₁，a₂，a₃，a₄是否一定構(gòu)成等差數(shù)列，說明理由；
  （ⅱ）若n≥100，數(shù)集B中的每個元素均為自然數(shù)且a_n=2023，求數(shù)集B中所有元素的和的所有可能值．
  組卷：26引用：1難度：0.2

  解析