2023-2024學年河北省衡水二中高二（上）第四次調研數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小愿，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

• 1．雙曲線

  x

  2

  a

  +

  1

  -

  y

  2

  1

  =

  1

  與橢圓

  x

  2

  4

  +

  y

  2

  a

  2

  =

  1

  的焦點相同，則a等于（　　）

  A．1

  B．-2

  C．1或-2

  D．2
  組卷：173引用：2難度：0.7

  解析

• 2．已知雙曲線

  x

  2

  a

  +

  y

  2

  =

  1

  的一條漸近線傾斜角為

  5

  π

  6

  ，則a=（　　）

  A．±3

  B． ± 1 3

  C．3

  D．-3
  組卷：128引用：2難度：0.8

  解析

• 3．蘇州市“東方之門”是由兩棟超高層建筑組成的雙塔連體建筑，“門”的造型是東方之門的立意基礎，“門”的內側曲線呈拋物線型，如圖1，兩棟建筑第八層由一條長60m的連橋連接，在該拋物線兩側距連橋150m處各有一窗戶，兩窗戶的水平距離為30m,如圖2，則此拋物線頂端O到連橋AB距離為（　　）

  A．180m

  B．200m

  C．220m

  D．240m
  組卷：178引用：7難度：0.8

  解析

• 4．已知F₁，F₂分別是雙曲線

  C

  ：

  x

  2

  -

  y

  2

  2

  =

  1

  的左、右兩個焦點，點M在雙曲線的右支上，且|MF₁|+|MF₂|=6，則∠MF₁F₂=（　　）

  A．30°

  B．45°

  C．60°

  D．90°
  組卷：174引用：6難度：0.5

  解析

• 5．過橢圓

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  左焦點F作x軸的垂線，交橢圓于P，Q兩點，A是橢圓與x軸正半軸的交點，且|PQ|=|FA|，則該橢圓的離心率是（　　）

  A． 1 2

  B． 2 4

  C． 2 2

  D． 3 2
  組卷：590引用：7難度：0.8

  解析

• 6．如圖，拋物線E：x²=2py（p＞0）的焦點為F，準線與y軸交于點D，O為坐標原
  點，P是拋物線上一點，且∠PFO=60°，則

  |

  PF

  |

  |

  DF

  |

  =（　　）

  A． 2 7 3

  B． 7 2

  C． 7 3

  D． 2 3
  組卷：59引用：4難度：0.6

  解析

• 7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點T在C上，且|FT|=

  5

  2

  ，若點M的坐標為（0，1），且MF⊥MT，則C的方程為（　　）

  A．y2=2x或y2=8x	B．y2=x或y2=8x
  C．y2=2x或y2=4x	D．y2=x或y2=4x
  組卷：395引用：4難度：0.6

  解析

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

• 21．已知橢圓

  E

  ：

  x

  2

  a

  2

  +

  y

  2

  b

  2

  =

  1

  （

  a

  ＞

  b

  ＞

  0

  ）

  的長軸長為4，且點

  P

  （

  1

  ，

  3

  2

  ）

  在橢圓E上．
  （1）求橢圓E的方程；
  （2）過橢圓E的右焦點F作不與兩坐標軸重合的直線l,與E交于不同的兩點M，N，線段MN的中垂線與y軸相交于點T，求

  |

  MN

  |

  |

  OT

  |

  （O為原點）的最小值，并求此時直線l的方程．
  組卷：66引用：2難度：0.3

  解析

• 22．若M（

  p

  2

  ，p）為拋物線y²=2px（p＞0）上一點，M到點（1，0）的距離比到y軸的距離大1，
  （1）求拋物線的方程
  （2）作直線l與拋物線相交于A．B兩點，以AB為直徑的圓過點M，求點（1，0）到直線l的距離的最大值．
  組卷：6引用：2難度：0.5

  解析