2023-2024學年上海市虹口區復興高級中學高二（上）期中數學試卷

一、填空題（本題共12小題，前6題每小題4分，后6題每小題4分，共54分、請在橫線上方填寫最終的、最簡的、完整的結果）

• 1．已知等差數列{a_n}滿足a₁=1，a₅=5，則公差d=

  ．
  組卷：94引用：2難度：0.8

  解析

• 2．首項為1，公比為

  -

  1

  2

  的無窮等比數列{a_n}的各項和為

  ．
  組卷：181引用：4難度：0.8

  解析

• 3．在直線與平面平行的判定定理中，假設α為平面，a,b為兩條不同直線，若要得到b∥α，則需要在條件“a?α，b∥a”之外補充的一個條件是

  ．
  組卷：72引用：2難度：0.7

  解析

• 4．在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B與直線B₁C的位置關系是

  ．
  組卷：71引用：2難度：0.8

  解析

• 5．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是D₁D的中點，則直線BE與平面ABCD所成角的正弦值為

  ．
  組卷：110引用：5難度：0.9

  解析

• 6．點P為二面角α-l-β內一點，過點P作PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A、B，若∠APB=80°，則二面角α-l-β的度數為

  ．
  組卷：40引用：2難度：0.7

  解析

• 7．在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面邊長為2，高為4，則異面直線BD₁與AD所成角的余弦值是

  ．
  組卷：33引用：3難度：0.7

  解析

三、解答題（本大題共5小題滿分78分.請寫出必要的證明過程或演算步驟）

• 20．已知E、F分別是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BC、CD的中點，求：
  （1）A₁D與EF所成角的大小；
  （2）二面角C-D₁B₁-C₁的大小；
  （3）點M在棱CD上，若A₁M與平面B₁C₁CB所成角的正弦值為

  19

  19

  ，請判斷點M的位置，并說明理由．
  組卷：174引用：4難度：0.6

  解析

• 21．已知集合A={a₁，a₂，a₃…a_n}?N^*，其中n∈N且n≥3，a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，若對任意的x,y∈A（x≠y），都有|x-y|≥

  xy

  k

  ，則稱集合A具有性質M_k．
  （1）集合A={1，2，a}具有性質M₃，求a的最小值；
  （2）已知A具有性質M₁₅，求證：

  1

  a

  1

  -

  1

  a

  n

  ≥

  n

  -

  1

  15

  ；
  （3）已知A具有性質M₁₅，求集合A中元素個數的最大值，并說明理由．
  組卷：194引用：5難度：0.4

  解析