2011年第7屆“銳豐杯”初中數學邀請賽試卷

一、選擇題（共6小題，每小題6分，滿分36分）

• 1．化簡

  3

  5

  -

  1

  2

  -

  （

  5

  -

  1

  2

  ）

  2

  得（　　）

  A． 5 - 1 2

  B． 5 + 1 2

  C． 5

  D． 3 5
  組卷：1274引用：6難度：0.5

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• 2．如圖，已知P是正方形ABCD內一點，△PBC是等邊三角形，若△PAD的外接圓半徑為a,則正方形ABCD邊長為（

  A． 1 2 a

  B． 3 2 a

  C．a

  D． 2 a
  組卷：215引用：2難度：0.7

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• 3．拋物線y=kx²-7x-7的圖象和x軸有交點，則k的取值范圍是（　　）

  A．k＞- 7 4

  B．k≥- 7 4 且k≠0

  C．k≥- 7 4

  D．k＞- 7 4 且k≠0
  組卷：2526引用：92難度：0.5

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• 4．對于一個正整數n,若能找到正整數a,b使得n=a+b+ab,則稱n為一個“好數”，例如：3=1+1+1×1，則3就是一個“好數”，那么從1到20這20個正整數中“好數”有（　　）

  A．8個

  B．10個

  C．12個

  D．13個
  組卷：265引用：2難度：0.9

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• 5．凸四邊形ABCD的四個頂點滿足：每一個頂點到其他三個頂點距離之積都相等．則四邊形ABCD一定是（　　）

  A．正方形

  B．菱形

  C．等腰梯形

  D．矩形
  組卷：196引用：1難度：0.7

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三、解答題（共3小題，滿分60分）

• 14．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，D為OC的中點，直線AD交拋物線于點E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3：2．
  （1）求這條拋物線對應的函數關系式；
  （2）連接BD，試判斷BD與AD的位置關系，并說明理由；
  （3）連接BC交直線AD于點M，在直線AD上，是否存在這樣的點N（不與點M重合），使得以A、B、N為頂點的三角形與△ABM相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．
  組卷：1091引用：18難度：0.1

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• 15．如圖（1）至圖（3），C為定線段AB外一動點，以AC、BC為邊分別向外側作正方形CADF和正方形CBEG，分別作DD₁⊥AB、EE₁⊥AB，垂足分別為D₁、E₁．當C的位置在直線AB的同側變化過程中，
  （1）如圖（1），當∠ACB=90°，AC=4，BC=3時，求DD₁+EE₁的值；
  （2）求證：不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，DD₁+EE₁的值為定值；
  （3）求證：不論C的位置在直線AB的同側怎樣變化，線段DE的中點M為定點．
  
  組卷：307引用：1難度：0.1

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